數感實驗室/大黨小黨猶豫不決 政黨票該怎麼投?(上)

數感實驗室/大黨小黨猶豫不決 政黨票該怎麼投?(上)

賴以威(數感實驗室)

選舉快到了,許多人很在意一個問題:我支持小黨,但萬一它沒過門檻,反而浪費一票。是不是其實該投第二支持,但一定過門檻的大黨呢?這是個非常複雜的問題,這次我們試著用期望值,來幫助大家決策。先講直觀的結論:

1. 小黨越容易過門檻,越該投它。

2. 大黨得票率越低,越該轉投它。

3. 相對於大黨,你到底有多愛小黨?這決定了一切。

※ 期望值分析

請容許我們介紹幾個變數:

1. A:投給小黨且它過門檻時,獲得的回饋。

2. B:投給必過門檻的大黨,獲得的回饋。A>B

3. P:小黨過門檻的機率

4. C%:大黨得票率

接下來就是「投給小黨」與「投給大黨」的期望值比較了。「投小黨」有兩種可能:

P的機率,小黨過門檻;(1-P)的機率小黨沒過,不過你的票沒被完全浪費,有C%被分配給大黨。因此總計投給小黨的期望值為

A×P+B×C%×(1-P)

「投大黨」的期望值相對簡單,就是B

換句話說,「投小黨期望值>投大黨期望值」這個條件將可用以下數學式子表示

A×P+B×C%×(1-P)>B

此時你該投小黨。把式子整理一下,你會得到更精簡的結果:

A/B>(1-C%×(1-P))/P

A/B可以視為「相對於大黨,你更支持小黨幾倍」。

換句話說,我們可以根據大黨的得票率(C%)、小黨能否過門檻的機率(P),計算出一個相對支持度的臨界值(threshold)。

如果相對於大黨,你支持小黨的決心高於此臨界值,你就該投小黨;若低於臨界值,你就該理性的支持大黨,才能獲得更高的期望回報。比方說,若小黨只有20%的通過機率,大黨有35%的得票率,此時除非你支持小黨的程度是支持大黨的3.6倍,否則你就該投大黨。反之,如果小黨通過率到50%,只要你對小黨有1.3倍以上的支持,就該投給小黨。

最後,注意這邊我們假設每個人的單一決策,不會影響到最終的得票率與小黨是否過門檻。但事實上若大家都採用這麼理性的決策,得票率必然會有所改變,最終會再度影響每個人的決策。

本文轉載自聯合報教育版「閱讀數學」專欄,更多好文請上「數感實驗室

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