補腦算算鍋/視覺的陷阱

補腦算算鍋/視覺的陷阱

文╱洪介興

●問題1╱50元直徑2.8公分 1元直徑幾公分?



你的「量感」敏銳嗎?讓我們來玩一個小遊戲,考考你的量感吧!

圖一是我國現行流通的壹元硬幣和伍拾元硬幣,伍拾元硬幣的直徑是2.8公分,那麼請你猜猜看,壹元硬幣的直徑是幾公分呢?

如果你的答案是1.4、1.5或1.6公分,表示你的量感很好,因為你看「大小」真的看得很準!如果你的答案是1.7、1.8或1.9公分,表示你的個性應該很謹慎、具有冷靜分析的能力!但是,我還是必須在這裡說聲抱歉,因為以上都不是正確答案,壹元硬幣的直徑其實是2公分!我想你一定感到十分意外,心中想著:「騙人的吧!壹元硬幣比伍拾元硬幣小這麼多,直徑怎麼可能會有2公分呢?」這究竟是什麼幻術呢?

這個幻術的關鍵其實是在「大小」這兩字,你所看到的硬幣大小是直徑還是面積呢?伍拾元硬幣的直徑大小只有壹圓硬幣的1.4倍,但計算面積時要把半徑自乘,因此伍拾元硬幣的面積大小是壹圓硬幣的1.4乘以1.4倍,也就是1.96倍,相當接近2倍了。

題目問的雖然是直徑,但面積卻遠比直徑搶眼得多,因此嚴重地影響了判斷,容易讓人誤以為壹元硬幣的直徑只有伍拾元硬幣的一半或略多,大幅高估了這兩枚硬幣的直徑差異。

清楚了原理,現在你也可以拿出壹元和伍拾元硬幣考考你的親友,記得,展示硬幣的時候,要像附圖一樣把兩枚硬幣分開一小段距離,這樣會讓效果比較好。當對方驚呼「怎麼可能」的時候,馬上秀一段兼具數學和心理學的精闢分析,你就會看到對方投來欽慕的眼光。


●問題2╱3號電池體積 是4號電池幾倍?

前面上了當,你一定感到很不服氣吧?沒關係,現在馬上給你一個上訴的機會!

圖二是常見的4號電池和3號電池,請你猜猜看3號電池的體積是4號電池的幾倍呢?是1.3倍左右、1.5倍左右、1.7倍左右,還是更多倍呢?

準備好了嗎?實際上,3號電池的體積大約是4號電池的2倍,這個比值是不是意外地大呢?

你的感覺和真實比值之所以有如此大的差距,是因為這一題有兩重陷阱,第一個陷阱是體積和面積的差別,我們視覺上所能看到的只有面積,看不到縱深,但題目問的是體積。若忽略了這一點,只用可視的大小進行猜測,就會低估了倍率。

就算你成功逃過第一個陷阱,知道要把看起來的倍率再向上調整,多半還是會低估,這是因為還有第二個更致命的陷阱,就是寬度的倍率遠比你看起來的還要大上許多。如果我告訴你,3號電池的寬度足足比4號電池還多出三分之一,你應該很難想像吧!

會有這樣的狀況,是因為多數人會把注意力集中在物件的主要特徵,電池的高度比寬度大很多,於是我們自然會有較多的注意力是放在高度上,而對寬度的敏感度則會大幅降低。如果把兩個電池都遮住大部分,只留下底部短短一截,你很容易就能看出寬度確實差很多。

最後我們來看看2倍是怎麼得出來的。因為兩個電池的高度比約為8:9,因此以畫面上所能看到的面積而言,3號電池大約是4號電池的9/8 ×4/3 ,也就是1.5倍,而體積的比值則要把面積的比值再乘上縱深的比值,縱深和寬度一樣是 4/3倍,最後就得出2倍這個倍率了。

人類雖然活在三度空間,但我們的眼睛一次卻只能看到兩個維度,所以我們對體積的直覺會特別不準確。知道了這一點,以後生活中再碰到關於體積的問題,就知道不能太相信直覺,像是圖四中的兩個容器,大小看起來好像沒有差太多。

但說出來你一定感到驚訝,大容器的體積其實比小容器多了大約三分之一!

(註:大容器的高度和寬度都是小容器的1.1倍,因此體積是1.1×1.1×1.1,即1.331倍。)

看到這裡,你應該會迫不及待想找一個3號電池和一個4號電池,接下來該怎麼做就不用我多說了吧!


●問題3╱一條船堵死航道 長賜輪到底多大


談到體積就不得不提到前一陣子紅透全球的「長賜輪」。

今年3月23日,台灣長榮海運向日本正榮汽船株式會社所租用的超大型貨櫃船──長賜輪,在向北通過蘇伊士運河時,疑似因為強風吹襲加上操作不當,導致船頭插入東岸擱淺,船身整個擋住了蘇伊士運河的航道長達6天之久,造成全球極大的經濟損失。

一條船就能塞住整個航道,不是因為運河太窄,而是長賜輪實在太大了!要明白長賜輪有多大,就讓我們先從20呎標準貨櫃談起。

20呎標準貨櫃的規格為長20呎(約6.1公尺)、寬8呎(約2.44公尺)、高8.6呎(約2.62公尺),你可以想像一個超大的箱子,長度大約是教室長度的8成、寬度大約是4張課桌併排在一起的寬度、高度大約是教室高度的8成,算下來體積大約是39立方公尺。

39立方公尺是什麼概念呢?得換成我們熟悉的大小才好理解,1立方公尺相當於1,000公升的大小,市面上很常見946毫升裝(1/4加侖)的大盒鮮乳,這個大小就很接近1公升,由此可知一個貨櫃大約就是4萬盒鮮乳的大小,此數量如果給全班30位同學每人每天喝1盒,3年也喝不完!

一個20呎標準貨櫃就已經這麼大了,長賜輪又有多大呢?如果我們把長賜輪想成一個大約180公分、80公斤的人,請你猜猜看,20呎標準貨櫃在它面前看起來有多小呢?像大盒鮮乳嗎?或是小一些,像大亨堡?還是只會像大亨堡裡面的熱狗呢?以上答案都太小看長賜輪了,20呎標準貨櫃在它面前,會小得像一個4號電池!

●問題4╱80公斤重的體積 是4號電池幾倍?


再給你一次猜測機會吧,這個80公斤的人,體積大約是4號電池的幾倍呢?如果你覺得很難具體想像一個這樣的人,你可以用自己的身體來想想,先猜猜看你的體積是4號電池的幾倍,然後再把數字按照體重比例進行調整,譬如你的體重是45公斤,就把你猜的數字除以45再乘以80。

怎樣才能估算得準呢?這邊做個示範,假設你160公分、50公斤,估計自己的寬度約是30個電池,厚度約是12個電池,這樣擺滿一層就是360個電池;然後身高約是35個電池,所以電池要往上疊35層,簡單用400×30估算,就有12,000個電池,最後除5、乘8,算下來大約是19,000個電池。

前面提到20呎標準貨櫃之於長賜輪,如同4號電池之於80公斤的人,是不是很驚人呢? 事實上,長賜輪的最大裝載量便是20,124個20呎標準貨櫃!

長賜輪的寬度接近60公尺,是20呎標準貨櫃的24倍,大約是7至8間教室的寬度;長度接近400公尺,是20呎標準貨櫃的65倍,大約是50多間教室的長度;算下來滿載時至少會有13、14層,也就是說不算船身,光看貨櫃就已經超過10層樓高!

2萬個20呎標準貨櫃又是什麼概念呢?再用鮮乳來計算吧,如果長賜號滿載2萬個標準貨櫃的大盒鮮乳,把這些鮮乳分給全台灣的人,每人每天喝一盒,一個月也喝不完呢!

●作者為教育部適性教學計畫「數學建築活動」教案設計人,任教北市石牌國中並指導政大橋藝社

 

原文出自《好讀周報》614期




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