數感實驗室/不一樣的一元二次方程式思路?

數感實驗室/不一樣的一元二次方程式思路?

賴以威(數感實驗室)

前陣子美國奧數代表隊教練、卡內基美隆大學數學系教授羅博深宣稱,他發現了新的一元二次方程式解法。等等,一元二次方程式?不就用熟悉的因數分解、配方法、或像口訣一樣的「2a分之負b加減根號b平方減4ac」公式解就好了嗎,幹嘛還需要新解法?解釋原因之前,我們先花一點時間介紹這套新解法。

羅教授的切入點是,當方程式為

x2+bx+c=0

1. 既然兩根相加一定是-b,我們就把兩根設定成(-b/2+u)、(-b/2-u),你可以想成是「比平均(-b/2)多u和少u」,以x2-8x+12=0來說,就是「比4多u和少u」。

此假設不只讓問題從求2個根變成只求1個u,更大幅化減下個步驟的計算量。

2. 既然兩根相乘一定是c,(-b/2+u)(-b/2-u)=c,式子左邊展開剛好變成

b2/4-u2=c

只剩下一個u2。x2-8x+12=0的例子就是16-u2=12,心算即可得到u=±2

3. 帶入即可求出兩根。

羅教授發表此方法後,很多人覺得有趣,但也有人認為畫蛇添足,不值一哂。我反覆讀了幾遍後,認為這是個很棒的思路。請大家一起體驗看看,不用紙筆,只能用心算解方程式:x2-8x+13=0

你會發現傳統的配方法、公式解都不是那麼好算。但如果是Prof. Loh的解法,兩根一定是4+u, 4-u,16-u2=13, u=±√3

答案就是4+√3, 4-√3。完全可以用心算做完這題。套句羅教授的說法,因為這個方法「更有人性」。首先,你要搞懂為什麼兩根和是-b、兩根積是c後,此結論很容易記起來,能幫助我們省掉大部分的計算流程。而實際運算時,只需要假設「1個變數」跟解「一個減法和開根號」而已。不論在記憶或計算上,都比公式解的負荷要來得小。

當然,這份成果並不是甚麼超級重要的數學發表,你要把它視為一元二次方程式「更漂亮的一題多解」也可以,嚴格來說,它可能只是較少人注意到的觀點,並不一定是新發現。我想這份研究的價值在於,它讓我們看到數學的靈活性,它不是一門死背公式的學問。反而可以說,就算是公式解,也有不同的思路。這才是我們在數學教育中,該培養給小孩的能力。數學充滿探索的空間,也因為能探索而充滿樂趣。這才是數學的本質。

本文轉載自聯合報教育版「閱讀數學」專欄,更多好文請上「數感實驗室

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