數感實驗室/教授算台灣4年來的成長率 為何被抨擊?

數感實驗室/教授算台灣4年來的成長率 為何被抨擊?

賴以威(數感實驗室)

最近成長率又成為熱門的時事議題。某位教授用相加的算術平均數,得出台灣4年來的成長率為2.44%。被抨擊「怎麼可以用算術平均數來算成長率,成長率是類似複利的概念,要用相乘再開根號的幾何平均數才對」之後,該教授貼了一則文章,解釋算術平均數跟幾何平均數在這個情況下很接近,所以方便起見他用算術平均數,並附上了數據與程式碼。

當然程式驗證是沒問題的,不過比起程式,數學上的驗證同樣重要且有趣。若是要講究嚴謹,使用「泰勒展開式」會是一個不錯的工具,來證明在面對成長率這種議題時,當成長率不大,算術平均數的確是幾何平均數的近似值。今天,我們提供一個更簡單的,必然曾經出現在各位國高中黑板上的算式來解釋。首先,

(1+a)(1+b)=1+(a+b)+ab

當a、b都很小,以台灣成長率來說最高不超過0.03。你可以想像ab的值最大也只有0.0009,小到可以忽略了。所以我們可以得到

(1+a)(1+b)≈1+(a+b)

同樣的道理,推展到4個年度的成長率相乘(是不是覺得數學能夠推展的特性真是很棒很好用呢?),成長率分別是a、b、c、d,可以得到

(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)≈1+(a+b+c+d)

假設4年的(幾何)平均成長率是g,同樣可以寫出

(1+g)(1+g)(1+g)(1+g)≈1+(g+g+g+g)=1+4g

整理後能得到

g≈(a+b+c+d)/4

的結果,近似符號右邊是算術平均數,左邊的g則是幾何平均數。

以上就是為什麼算術平均數跟幾何平均數在這個狀況下,答案會差不多的原因。要強調的是,兩者根本意義完全不同,不能只因為「在某些狀況」答案很接近,就覺得選哪個都無所謂,使用近似時也必須要明確說明理由,否則不明究裡的方便主義會出問題的。

舉個反差很大的例子,倘若某年成長100%,隔年衰退50%。則算術平均數是(100-50)/2=25,平均成長25%。可真正的成長狀況是2×0.5=1,根本沒有成長,幾何平均數是0%。這時候就差很多了。數據可以有不同的解讀,但回到數學本身,正確答案只有一個。

本文轉載自聯合報教育版「閱讀數學」專欄,更多好文請上「數感實驗室

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