數感實驗室/數學亦是一門藝術 你覺得哪道證明比較美?

數感實驗室/數學亦是一門藝術 你覺得哪道證明比較美?

賴以威(數感實驗室)

這世界上有所謂的「美麗的畫作」、「悅耳的歌曲」,都是人們可以憑著直覺辨認出來的,你覺得,我們也能用直覺分辨出哪一種「數學證明」比較優美嗎?

授日前在《Cognition》期刊有一篇論文,展現出就算沒有受過數學家的專業訓練,一般人也能像欣賞畫作一樣,能鑑賞出比較「美」的證明。

下面是論文所挑選的四道證明,題目分別是

1.數學王子高斯計算1加到100的方法

2.鴿籠原理:一組5人團體中,必然有兩人的朋友數目相同(註)

3.無窮等比級數,首項與公比皆為1/2,級數和為1的證明

4.從1開始的連續奇數相加,必為平方數

研究邀請了約三百位受測者,請他們依據直覺,將每道證明從0~10評分。你要不要也評分看看呢?

答案揭曉,人們評鑑的喜好順序是4(4.27)>3(3.95)>1(3.54)>2(2.56),最美的證明是連續奇數相加為平方數,最不好看的是此處的鴿籠原理。你也有類似的感受嗎?

這項研究同時提供了四幅畫作請受測者評分,最低分的畫作依然有7.25分,比最高分的數學證明更能讓人感受到美的存在,真是有點令人喪氣的結果。不過有趣的還在後頭。除了讓人們直接替「多美」打分數,研究者還設計了好幾種不同的指標例如:優雅(elegance)、創新(novelty)、複雜(sophistication)等更具體的美的面向,讓人們針對不同的畫作、證明來評比。

結果發現,在眾多面向中,優雅、清楚(clarity)與深度(profundity)是人們在評價畫作時,跟美最相關的三個面向。換句話說,人們認為這幅畫美不美,很大的比重是取決於他是否感受到了畫作中的優雅、清楚、深度。

但當人們在看數學式子時,一般人只能運用「優雅」這個面向來判斷這道證明是否美麗。然而,重點來了,研究同時邀請數學家來評分,而經過長期訓練的數學家,他們能鑑別出證明中的「清楚」與「深度」之美,又跟鑑別畫作是一樣的。

這項研究揭露了兩個有趣的面向,首先,一般人也能像面對藝術作品一樣,對數學的美醜有直觀性的感受;其次,數學的訓練,不只讓人更擅於計算或邏輯思考,還能讓我們更精確地感受到數學之美。

數學不只是一門學問,它還是一門藝術。

本文轉載自聯合報教育版「閱讀數學」專欄,更多好文請上「數感實驗室

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