數感實驗室/大型活動的風險

數感實驗室/大型活動的風險

賴以威(數感實驗室)

隨著疫情越來越嚴峻,許多活動紛紛暫停。到底辦理大型活動對疫情有怎樣的影響,大家都能感受到「嗯,應該不太妙吧」,但究竟是怎樣的狀況,好像也沒辦法很清楚的說出來。其實,這是可以運用二項式展開,很快的估算。讓我們一起來試試看吧!

首先,假設全台灣尚有b人感染肺炎未被查出來(註),則每一位台灣人生病的機率是b/2300萬,沒生病的機率是(1-b/2300萬)

以20萬人參與的大型活動,20萬人都沒生病的機率是

(1-b/2300萬)的20萬次方。

所以在這次活動中,至少有一位患者的機率就是用1去扣掉(耳邊響起高中數學老師的聲音)

1-(1-b/2300萬)的20萬次方

用excel或工程計算機就可以算出來。

但不是每個人隨時手邊都有excel,作為一個現代公民,隨時估算的數感能力很重要。因此,你可以用二項式展開,簡單來說就是

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab3+b3

只是我們現在的次方項是20萬!看起來很大,但你會發現,

(1-b/2300萬)20萬=1-20萬×b/2300萬-k×(b /2300萬)2….

當(b/2300萬)夠小時,只要展開到一次項就可以,後面都能忽略,所以就會近似於

(1-b/2300萬)^20萬≈1-20萬×b/2300萬

再用1去扣,就會得

1-(1-b/2300萬)^20萬≈20萬×b /2300萬

任何一場活動,你只要把20萬改成該活動參與人數,掐指就能算出來。

然而,當b越來越大,潛在患者數目越來越多時,一次式展開就會變得不準,得考慮到更多項。付出的代價就是變得難算。隨著考慮二項式展開的越多項,就會越難算,但越精準。

以前在學各種近似、展開的時候,有些人可能會覺得幹嘛要這麼麻煩,硬算不是就好了嗎?的確有電腦的幫忙,很多問題可以直接計算。可是,這些數學技巧在很多時候,能比電腦更快速、貼心的幫助我們思考,認清狀況、做出正確的判斷。

本文轉載自聯合報教育版「閱讀數學」專欄,更多好文請上「數感實驗室

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