看穿賭局玄機/《補腦算算鍋》
電影《決勝21點》是真人真事改編。圖/取自網路

看穿賭局玄機/《補腦算算鍋》

看穿賭局玄機

再三個多星期就要放寒假、過新年了,有些長輩過年會主持各種有趣賭博遊戲, 像是打麻將、刁十三隻、21點、甚至賭骰子,每一項都讓人覺得非常有意思。 其中有些遊戲是賭場會見到的,像21點和賭骰子便是, 既然賭場會有,表示這些遊戲長期而言莊家(賭局的主持人)的贏面會比較大,讓我們一起看看箇中奧祕。

【文╱洪介興】

●賭骰子無關技術 勝負全憑運氣!

賭骰子可以說是最簡單的賭博遊戲了,完全沒有任何技術成分,勝負全憑運氣!

這邊介紹一個流行於台灣民間的賭骰子遊戲,叫做「三六仔」,只要有三個骰子、一個大瓷碗,再繪製一張簡單的遊戲板即可,盤面如圖所示。

這個遊戲需要一名莊家,其他玩家將自己的籌碼押注在預測的點數上,接著莊家同時擲下三顆骰,勝負計算方式是:

如果玩家有押中開出的點數,每押中一顆骰子點數,莊家就要賠他一倍的籌碼;如果三顆骰子點數都沒押中,該份籌碼則被莊家沒收。

譬如開出的點數是2點、5點、6點,那麼莊家就要賠這三格裡面全部籌碼的一倍,也就是押一個籌碼的可以取回兩個籌碼,而押2個籌碼的則可以取回4個籌碼;至於押在另外三格內的籌碼,則全數被莊家沒收。

再譬如開出的點數是1點、5點、5點,那麼押在1點的同樣是贏回多一倍的籌碼。而押在5點的則可以多贏得2倍籌碼,押2個籌碼就可以取回6個!

如果3顆骰子點數都一樣,押中的玩家甚至可以贏得3倍的籌碼呢!

●看似對玩家公平 實則對莊家有利

這個遊戲要猜的格子有6格,而莊家有3顆骰子要賠錢,所以對玩家似乎很公平,從第一個「2點、5點、6點」的例子,應該就很容易讓人感覺這個遊戲很公平。此外,如果押中2個骰子甚至3個骰子,莊家還會賠你2倍甚至3倍的籌碼,這豈不是太好了嗎?

但事實上,這個遊戲其實還是對莊家有利,而且莊家的利益竟然還是來自於乍看之下對玩家很有利的「兩倍獲利」甚至「三倍獲利」的情況,這是為什麼呢?

其實我們只要用數格子的方式就可以明白,在第一個丟出2點、5點、6點的例子中,莊家收了3個格子的籌碼,賠3個格子的籌碼,也就是收3份錢、輸3份錢。但在1點、5點、5點的例子中,莊家雖然要賠2份5點,但總共還是只賠了3份錢,反倒是多收了一個格子的籌碼!如果莊家擲出三顆骰子相同點數就更賺了,因為同樣是賠3份錢,但卻可以收到5個格子的籌碼!

我們也可以仔細計算一下,看看押注在盤面上1個籌碼的預期效益有多少。

先計算預期收入,如果只看一個骰子,它會有6分之1的機率是籌碼押注的數字,也就是6分之1的機率賺取到1個籌碼,所以這顆骰子平均而言會帶來6分之1個籌碼;而因為有3個骰子,每個骰子平均而言有6分之1個籌碼的收入,所以3顆骰子預期收入總共是6分之3,也就是平均可贏取2分之1個籌碼。

再接著計算預期損失,當3個骰子都沒有命中押注的數字時,我們就會失去這個籌碼,這個機率是6分之5的3次方,所以我們有216分之125的機會輸掉這個籌碼,也就是平均會輸掉216分之125個籌碼。

兩相比較會發現,預期損失比預期收入還多216分之17,意思就是每押注1個籌碼,平均而言會輸掉216分之17個籌碼!

「三六仔」是台灣民間很常見的賭博遊戲。圖/取自網路
「三六仔」是台灣民間很常見的賭博遊戲。圖/取自網路

●根據點數來要牌 玩21點需判斷力

接著來看另一個更著名的遊戲,那就是全世界每個大型賭場裡不可或缺的重要遊戲——「21點(Black Jack)」。

21點的遊戲目的是要讓自己的點數比莊家大,且不能超過21點,各張牌代表的點數如表所示。

簡易版的遊戲流程如下:

①玩家和莊家每人各先發兩張牌,莊家其中一張牌會攤開在桌面上。(如圖所示)

如果玩家的牌正好是一張A和一張10點,加起來剛好就是21點,這種情況叫做「Black Jack」,發生率大約5%,除非莊家也是「Black Jack」,否則要賠給玩家1.5倍籌碼。

②每位玩家輪流決定還要不要增加牌,玩家的點數只要一超過21點就算輸,籌碼立即被沒收。

以圖片中的牌局為例,最左邊的玩家已有19點,他一定不會再要牌,而左邊數來第二個玩家只有9點,勢必會先再要一張牌。

③莊家開底牌,點數不到17就要繼續加牌,點數達到17以上就不能再增加牌。

也就是說莊家不能自行決定要不要加牌,只是個被遊戲規則牽著走的發牌機器人。

④如果玩家和莊家都不超過21點就比點數,玩家點數多可贏得1倍籌碼,玩家點數少則籌碼被沒收,點數一樣就是平手不分輸贏。

21點這個遊戲既要靠運氣,也要靠一些判斷力,你要根據自己現在的點數,以及莊家亮出的牌,來決定是否繼續要牌。

●玩家點數爆掉就輸 遊戲規則有利莊家

事實上,21點也是對莊家有利的遊戲(當然,否則怎麼會出現在賭場呢),主因是玩家的點數爆掉(超過21點)立即算玩家輸,就算莊家後來跟著爆掉也沒用,籌碼早已沒收了。

實際上桌的時候,點數如果只有11點以下肯定是繼續要牌,而點數在17點以上則幾乎不可能繼續要牌,比較困難的就是拿到12到16點的時候,要牌怕爆掉,但不要牌的話點數太小,完全只能寄望莊家爆掉。

以圖片中最右邊的牌為例,兩張牌加起來13點,相當不妙;但值得慶幸的是,莊家亮出來的牌(4點)也不好。因為這個遊戲的10點牌很多,我們可以希望莊家的另一張牌是10點,這樣莊家就是14點;而依照規則,莊家不到17點必須加牌,只要下一張來的是8點、9點或10點,點數就爆了!

莊家不到17點就必須加牌的這條規則,真可以說是玩家的一項重要武器。

●大牌比例愈高 莊家愈容易爆牌

2008年有一部電影叫做《決勝21點》,內容說的是一群頭腦絕佳的頂尖高手,他們運用數學方法,找出了21點的破綻,組隊到賭城大賺一票賭金的故事。

他們所用的方法就是計算出過的「大牌」(10、J、Q、K、A)和「小牌」(2、3、4、5、6)數量;如果大牌出現過很多,表示牌堆裡剩下的大牌不多,如果大牌出現過的不多,表示牌堆裡剩下的大牌會偏多。

如前面所說,21點是對莊家有利的遊戲,正常狀況下,莊家的勝率是高於玩家的;但當牌堆中剩下的大牌很多、小牌很少,且比例懸殊到某種程度時,局勢就會轉為對玩家有利,這是因為大牌的比例愈高,玩家就愈有機會靠著莊家爆掉取勝。

這部電影是真人真事所改編,後來賭場為了防堵這種情況,會用更多副牌洗在一起,這樣做可以讓大牌和小牌的比例不容易變得太懸殊。此外,一疊牌不會用到快完才洗,因為剩下的牌張太少時,也會容易發生大牌和小牌比例懸殊的狀況。

今天學到了不少賭博相關的知識,還是要提醒一下讀者們,過年跟家人團圓小賭、交流情感無傷大雅,但到了外面可切記要和賭博保持距離,我們就只討論數學!

●作者為教育部適性教學計畫「數學建築活動」教案設計人,任教北市石牌國中

【2022-12-26/聯合報/R06.07版/好讀周報動腦力】