賴以威（數感實驗室）
最近成長率又成為熱門的時事議題。某位教授用相加的算術平均數，得出台灣4年來的成長率為2.44%。被抨擊「怎麼可以用算術平均數來算成長率，成長率是類似複利的概念，要用相乘再開根號的幾何平均數才對」之後，該教授貼了一則文章，解釋算術平均數跟幾何平均數在這個情況下很接近，所以方便起見他用算術平均數，並附上了數據與程式碼。
當然程式驗證是沒問題的，不過比起程式，數學上的驗證同樣重要且有趣。若是要講究嚴謹，使用「泰勒展開式」會是一個不錯的工具，來證明在面對成長率這種議題時，當成長率不大，算術平均數的確是幾何平均數的近似值。今天，我們提供一個更簡單的，必然曾經出現在各位國高中黑板上的算式來解釋。首先，
(1+a)(1+b)=1+(a+b)+ab
當a、b都很小，以台灣成長率來說最高不超過0.03。你可以想像ab的值最大也只有0.0009，小到可以忽略了。所以我們可以得到
(1+a)(1+b)≈1+(a+b)
同樣的道理，推展到4個年度的成長率相乘(是不是覺得數學能夠推展的特性真是很棒很好用呢?)，成長率分別是a、b、c、d，可以得到
(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)≈1+(a+b+c+d)
假設4年的(幾何)平均成長率是g，同樣可以寫出
(1+g)(1+g)(1+g)(1+g)≈1+(g+g+g+g)=1+4g
整理後能得到
g≈(a+b+c+d)/4
的結果，近似符號右邊是算術平均數，左邊的g則是幾何平均數。
以上就是為什麼算術平均數跟幾何平均數在這個狀況下，答案會差不多的原因。要強調的是，兩者根本意義完全不同，不能只因為「在某些狀況」答案很接近，就覺得選哪個都無所謂，使用近似時也必須要明確說明理由，否則不明究裡的方便主義會出問題的。
舉個反差很大的例子，倘若某年成長100%，隔年衰退50%。則算術平均數是(100-50)/2=25，平均成長25%。可真正的成長狀況是2×0.5=1，根本沒有成長，幾何平均數是0%。這時候就差很多了。數據可以有不同的解讀，但回到數學本身，正確答案只有一個。
本文轉載自聯合報教育版「閱讀數學」專欄，更多好文請上「數感實
