【文╱洪介興】
●現象1╱10÷6的答案 小數點後會循環
小明是一位小學五年級的學生，他們正學到商數可以是小數的除法，用功的小明如往常一般，自己隨意設定數字，出一些題目來自我練習，起初兩題「41÷25＝1.64」和「17÷8＝2.125」還算得好好地，想不到第3題就碰上了大問題。
原來他第3題設定的題目是10÷6，計算時會無止盡地重複「商數填6」、「40－36＝4」、「補0」的步驟，因此商數是1.6666……，小數點後竟然是無窮無盡的6！
小明嚇壞了，拿著計算紙跑去問姊姊，想不到姊姊沒有露出絲毫驚訝，冷靜地告訴小明：「這個商數叫做『循環小數』，可以記錄成『1.6』，意思就是小數點後面跟著無限多個6。」小明跟著寫下「0.5」並說：「那麼這就是小數點後面跟著無限多個5的意思囉！」
「沒錯！」姊姊接著說：「而且你寫的正是5÷9的計算結果喔！」看姊姊說得如此自信，小明仍不禁懷疑，但動筆一算竟果真如此。
「太神奇了！你怎麼能一眼看出0.5是5÷9的計算結果？」小明完全無法相信。姊姊對小明的訝異置之不理，繼續說：「厲害的還不只如此，你試著算算看『47÷11』和『5÷37』，應該會得到更有趣的結果！」
到底「47÷11」和「5÷37」會得到什麼神奇的結果呢？請讀者們拿出紙筆，和小明一起試著計算看看，自己實際動筆算過更能體會箇中趣味喔！
●算算看╱1÷7到6÷7 有何奧妙在其中？
哇！不得了！」算完47÷11後的小明驚呼著：「這次是4.272727……，小數點後面不斷重複著『27』！」姊姊說：「是的，那麼你猜猜看這個無窮無盡不斷循環著的小數要怎麼記錄呢？」小明思考了一下，寫下「4.27」。
「非常正確！」姊姊高亢的聲調完全傳達了內心的喜悅：「趕快接著算下一個例子，『5÷37』吧！」
經過一小段時間，小明再度驚呼：「天啊！這次是0.135135 ……，『135』不斷地循環耶！我知道了，這次可以寫成這樣對吧？」小明一邊說著，一邊寫下「0.135」。
「正是如此！更有趣的還在後頭，要試試看嗎？」不等小明回答，姊姊馬上接著說：「這次請你一口氣把『1÷7』、『2÷7』、『3÷7』、『4÷7』、『5÷7』、『6÷7』都算過，雖然有點多，但對你而言應該不難吧！」
姊姊話說完還不忘使出激將法，性格被摸透的小明果然中招，馬上低頭猛算，聰明的讀者們也請拿出紙筆試試看吧，可別讓小明專美於前囉！
●現象2╱6個不同的運算 重覆相同的動作
「終於算完了！」小明整理了他的計算結果如圖。
「竟然要算到小數點後第7位才開始循環，而且每個計算結果都是這樣，真酷！」小明讚歎道。
「才不只這樣呢！回想一下，你不覺得雖然這看起來是6個不同的運算，你卻一直重複做著相同的動作嗎？」
「嗯……1的後面是4，4的後面是2，2的後面是8……真的耶！每一題都是按照『1→4→2→8→5→7』的順序在循環，只是開頭的數字不同而已，太神奇了吧！」
會有這樣的結果，是因為當除以7的運算做到只剩一位數的時候，若非整除就是餘1、餘2、餘3、餘4、餘5、餘6這6種情形。
如果看到餘1，還要繼續除下去的話，下一位商數必定是1，且下一個餘數是3；如果看到餘3，下一位商數必定是4，且下一個餘數是2；如果看到餘2，下一位商數必定是2，且下一個餘數是6；如果看到餘6，下一位商數必定是8，且下一個餘數是4；如果看到餘4，下一位商數必定是5，且下一個餘數是5；如果看到餘5，下一位商數必定是7，且下一個餘數是1。至此，餘數轉了一圈又回到餘1，商數當然也會一起隨之循環；由前討論可知，不論從哪一個餘數開始，接續的餘數、商數都會遵守相同的固定順序。
●再試試╱2÷17到16÷17 從計算中看答案
「這真是太有趣了！還有更多這樣的例子嗎？」小明等不及想多看一些類似的案例。「是嗎？那也得看你有沒有這個本事囉！」不知不覺，姊姊似乎已經把小明牽著鼻子走。
姊姊繼續說：「下一個挑戰是『1÷17』，可別中途放棄囉！」小明說：「才一題而已，看我兩三下把它解決！」報紙前的讀者也請接下這份挑戰書吧！
經過一番努力，小明終於算出來了，「1÷17」的計算結果竟是0.0588235294117647，直到算完小數第16位才出現重複的餘數，因此商數從小數第17位才開始循環！
「下一個挑戰是求出『2÷17』、『3÷17』、『4÷17』……一直到『16÷17』的答案。」不給小明喘息，姊姊又發起下一個挑戰。小明連忙道：「這怎麼可能算得完……」
不等小明繼續抱怨，姊姊搶著解釋：「是要你『求』出來，可不是要你『算』出來，再說得更確切些，你要試著從剛才的計算過程中『看』出來。試試看吧，我很看好你喔！」不負姊姊的期望，小明不久便「看」出了全部的答案。
●問問你╱除以17 小數第17位起循環 若除27 小數第27位才循環？
「除以7的時候從小數第7位開始循環，除以17的時候從小數第17位開始循環，那麼除以27的時候就是從小數第27位開始循環囉？」小明提出了他的猜想。
「這是個很好的猜想，可惜不是這樣。」姊姊解釋道：「7和17是質數，而27是合數，用它們當除數所形成的循環小數位數，沒辦法直接合在一起討論喔！」
小明接著說：「那麼除以任意質數p的時候就是從小數第p位開始循環，這次總對了吧？」姊姊回答：「照你這樣說，除以11的時候就是從小數第11位開始循環囉？但剛才除以11的時候是從小數第3位就開始循環的耶！」小明迷惑道：「啊！那到底是怎樣呢？」
「聽好囉！」姊姊回答道：「用任意的質數p當除數，到小數第p位一定會循環。」小明快弄糊塗了：「這不就是我剛才的意思嗎？」
「不一樣喔！」姊姊解釋道：「『寫到小數第p位一定會循環』意思就是到小數第p位時，有可能已經循環不只一次了！再換句話說，到小數第p-1位的時候，一定會剛好完成循環，但完成的循環次數則不一定！」
姊姊繼續解釋：「譬如用11當除數時，2位數就是一循環，到小數第10位已完成5次循環；用13當除數時，6位數就是一循環（如右圖），到小數第12位時已完成2次循環；而用17當除數時，到小數第16位只完成1次循環。」
小明已經聽得眼花撩亂，但富有科學精神的他，還是說出了最重要的那三個字：「好吧，原來是這樣，這又是『為什麼』呢？」
「問得好！假設p是除了2或5以外的任意質數，只要連續寫p-1個9，就一定是p的倍數，譬如99是3的倍數，999999（6個9）是7的倍數，999999999999（12個9）是13的倍數」
小明驚訝道：「那麼連續寫22個9也會是23的倍數囉？」
「沒錯！至於『為什麼』連續寫p-1個9，就一定是p的倍數；以及『為什麼』這個性質跟循環小數有關呢？我要趕著出門，改天再繼續玩下去吧！」
【2023-05-15/聯合報/R07版/好讀周報動腦力】
