補腦算算鍋/大樂透有明牌

補腦算算鍋/大樂透有明牌

文╱洪介興

●猜猜看╱熱門號 出現幾次? 冷門號 出現幾次?

你的家人曾買過大樂透嗎?大樂透是2004年起,由政府委託銀行經辦的一種公益彩券,也是國內所有公益彩券中獎額最高的一種,頭獎金額高達上億元,目前已開出近1900期。遊戲規則是從1~49中選取6個號碼,開獎時會隨機選出6個號碼,若所選的6個號碼全對中即為頭獎,若只對中3~5碼則分別得到不同的較低獎項。(為避免內容過於繁瑣,本文暫不談特別號機制)

為求公平起見,大樂透的遊戲設計必須讓每一種號碼的出現機率相同。可是什麼叫做機率相同呢?是否表示隨著開獎次數增加,每種號碼出現的次數會趨於一致呢?

我們統計了前49期大樂透每個號碼開出的次數,在這49期中,平均每個號碼會被開出6次。既然每一種號碼的出現機率相同,是否表示每個數字都大約會被開出6次呢?請你猜猜看,最熱門、最常被開出的號碼在這49期當中一共出現幾次?最冷門的號碼被開出了幾次?而49個號碼中,又有幾個號碼的出現次數是平均的6次。

統計結果如表一所示,結果竟然只有9個號碼是正好開出6次,而開出次數最多的號碼,足足比平均次數還多出了6次!整體分布情形是否遠超乎你想像地分散,而不像你所預期般,都向平均的6次靠攏呢?

●想想看╱既然機率相同 為何出現次數差很多

如果按照前面所說,機率相同,表示隨著開獎次數增加,每種號碼出現的次數會趨於一致。然而,現在竟然會有號碼開出的次數跟平均次數差到6次之多,是不是因為統計的期數太少呢?因為有這樣的可能性,我們就增加統計期數試試看吧!

我們現在把統計期數增加到前245期,如此每一個號碼平均會開出30次,再接著看下去之前,還是請你先猜猜看,最常和最少開出的號碼,它們被開出的次數會跟平均相差多少?會相差6次以上?或是相差6次左右?還是會比6次明顯地少呢?

從表二可以看到,當統計的期數增加為245期,出現最多次的號碼,其開出的次數跟平均次數相差了多達12次,跟剛才只統計前49期的狀況相比,不僅沒有離平均比較近,反而差得更遠了。而且如果繼續增加統計的期數,出現次數最高和最低的號碼,它們的出現次數竟然還會再離平均更遠,這是怎麼一回事呢?

會有這樣的矛盾,原因在於前面對於「機率相同」的解讀其實是錯誤的,機率相同並不是「出現次數」會趨於一致,而是「出現率」會趨於一致。當你關注出現率,就會發現當統計的期數越多,最常出現和最少出現的號碼,它們的出現率都越接近平均出現率。

到底什麼叫做機率呢?它好像離我們很近,但卻又抽象得難以說明,也因此機率很常被誤解、誤用。以我個人而言,會比較喜歡用以下的「操作型定義」來幫助自己理解何謂機率:

「試驗的次數越增加,事件的發生率會越趨近於它的機率。」

以前面大樂透的例子而言,每一個號碼被開出的機率都是12.2%(由6÷49計算而得之近似值),當統計的期數越多,任一號碼的出現率會越趨向12.2%;反過來說,當統計的期數越多,任一號碼的出現率會越不容易遠離12.2%。

●考考你╱連3期都出現 下一期該押它?

當一個號碼已經連續開出3期,下一期繼續再押這個號碼會比較容易中獎嗎?

答案是沒差,只要彩球是公平的,沒有動過手腳,那麼任何一個號碼被開出的機率就是12.2%,不會因為這個號碼前一期有被開出來,下一期就比較不容易再出現。事實上,大樂透目前總共出現過184次連3期開出同一個號碼的情形,其中有26次在下一期又出現相同號碼,比率為14.1%,跟理論值的12.2%也相去不遠。

如果有人以為前一期出現的號碼,下一期會比較不容易出現,很可能就是前面提過的錯誤想法,因為他以為多次試驗後次數會趨於相等,所以下一次應該要開別的號碼,次數才能追趕上來,但這是錯誤的想法,因為長期趨勢只會讓出現率相近,而不是要讓次數相近。

●告訴你╱連號中獎率較低? 其實機率都相同!

如果有人在選號的時候,直接選了6個連續號碼,像是08、09、10、11、12、13,是否非常不明智呢?因為像這樣的一組號碼,中獎率肯定比較低,是這樣嗎?

答案跟前一道問題一樣,沒有差。跟02、05、14、21、39、41相比,直覺上很容易以為這種號碼分散的組合比較容易中獎,但其實這兩組號碼的中獎機率一模一樣,都是1400萬分之1。我們會以為連號比較難中獎、而號碼分散比較容易中獎,其實是因為連號的組合比較少、而號碼分散的組合比較多,把很多種組合加在一起比,就以為它們好像比較厲害,但以單一組合相比時,其實沒有高下之分。

這邊用一個迷你樂透來幫助說明,從01~09挑兩個號碼,總共有36種可挑選的號碼組合,每一種組合被開出來的機率都一樣是1/36。而在這36種組合中,連號的情形有8種組合,不連號的情形有28種組合,所以我們會覺得連號比較少中獎,不連號比較常中獎,這是因為拿8組去跟28組比,本來就不公平。如果單比較03、04和02、07這兩個組合,其實一樣是1/36的中獎率,沒有哪一種比較厲害,連號的完全沒有比較差。

事實上,南非的樂透就曾開出6連號,05、06、07、08、09、10,結果有20個人共享頭獎。有些人質疑作假,認為不可能開出6連號,而且又同時這麼多人得獎。但稍加思考就不難想到,如果真的要作假,會想用這麼引人注目的一組號碼嗎?

另外,6連號會由很多人共享頭獎也是可想而知的。南非的樂透是50選6,有將近1600萬種組合,而6連號的組合只有45種,換言之,如果全都隨機選號,每1600萬張彩券大約只有45張6連號的彩券。但如果每2萬張樂透就有1張是為了好玩而畫成6連號(這個假設應該不過分),這樣的話,就變成每1600萬張大約有800張6連號的彩券,比純隨機大約多出20倍的量,這樣當然就會有很多號碼完全重複的6連號彩券囉!

因此,選6連號還是有缺點的,並非因為它比較不容易中獎,而是當你好不容易中獎的時候,得跟特別多的中獎者一起平分獎金!

●作者為教育部適性教學計畫「數學建築活動」教案設計人,任教北市石牌國中並指導政大橋藝社

原文出自《好讀周報》622期