文╱洪介興
●猜猜看╱熱門號 出現幾次? 冷門號 出現幾次?
你的家人曾買過大樂透嗎？大樂透是2004年起，由政府委託銀行經辦的一種公益彩券，也是國內所有公益彩券中獎額最高的一種，頭獎金額高達上億元，目前已開出近1900期。遊戲規則是從1～49中選取6個號碼，開獎時會隨機選出6個號碼，若所選的6個號碼全對中即為頭獎，若只對中3～5碼則分別得到不同的較低獎項。（為避免內容過於繁瑣，本文暫不談特別號機制）
為求公平起見，大樂透的遊戲設計必須讓每一種號碼的出現機率相同。可是什麼叫做機率相同呢？是否表示隨著開獎次數增加，每種號碼出現的次數會趨於一致呢？
我們統計了前49期大樂透每個號碼開出的次數，在這49期中，平均每個號碼會被開出6次。既然每一種號碼的出現機率相同，是否表示每個數字都大約會被開出6次呢？請你猜猜看，最熱門、最常被開出的號碼在這49期當中一共出現幾次？最冷門的號碼被開出了幾次？而49個號碼中，又有幾個號碼的出現次數是平均的6次。
統計結果如表一所示，結果竟然只有9個號碼是正好開出6次，而開出次數最多的號碼，足足比平均次數還多出了6次！整體分布情形是否遠超乎你想像地分散，而不像你所預期般，都向平均的6次靠攏呢？
●想想看╱既然機率相同 為何出現次數差很多
如果按照前面所說，機率相同，表示隨著開獎次數增加，每種號碼出現的次數會趨於一致。然而，現在竟然會有號碼開出的次數跟平均次數差到6次之多，是不是因為統計的期數太少呢？因為有這樣的可能性，我們就增加統計期數試試看吧！
我們現在把統計期數增加到前245期，如此每一個號碼平均會開出30次，再接著看下去之前，還是請你先猜猜看，最常和最少開出的號碼，它們被開出的次數會跟平均相差多少？會相差6次以上？或是相差6次左右？還是會比6次明顯地少呢？
從表二可以看到，當統計的期數增加為245期，出現最多次的號碼，其開出的次數跟平均次數相差了多達12次，跟剛才只統計前49期的狀況相比，不僅沒有離平均比較近，反而差得更遠了。而且如果繼續增加統計的期數，出現次數最高和最低的號碼，它們的出現次數竟然還會再離平均更遠，這是怎麼一回事呢？
會有這樣的矛盾，原因在於前面對於「機率相同」的解讀其實是錯誤的，機率相同並不是「出現次數」會趨於一致，而是「出現率」會趨於一致。當你關注出現率，就會發現當統計的期數越多，最常出現和最少出現的號碼，它們的出現率都越接近平均出現率。
到底什麼叫做機率呢？它好像離我們很近，但卻又抽象得難以說明，也因此機率很常被誤解、誤用。以我個人而言，會比較喜歡用以下的「操作型定義」來幫助自己理解何謂機率：
「試驗的次數越增加，事件的發生率會越趨近於它的機率。」
以前面大樂透的例子而言，每一個號碼被開出的機率都是12.2%（由6÷49計算而得之近似值），當統計的期數越多，任一號碼的出現率會越趨向12.2%；反過來說，當統計的期數越多，任一號碼的出現率會越不容易遠離12.2%。
●考考你╱連3期都出現 下一期該押它?
當一個號碼已經連續開出3期，下一期繼續再押這個號碼會比較容易中獎嗎？
答案是沒差，只要彩球是公平的，沒有動過手腳，那麼任何一個號碼被開出的機率就是12.2%，不會因為這個號碼前一期有被開出來，下一期就比較不容易再出現。事實上，大樂透目前總共出現過184次連3期開出同一個號碼的情形，其中有26次在下一期又出現相同號碼，比率為14.1%，跟理論值的12.2%也相去不遠。
如果有人以為前一期出現的號碼，下一期會比較不容易出現，很可能就是前面提過的錯誤想法，因為他以為多次試驗後次數會趨於相等，所以下一次應該要開別的號碼，次數才能追趕上來，但這是錯誤的想法，因為長期趨勢只會讓出現率相近，而不是要讓次數相近。
●告訴你╱連號中獎率較低? 其實機率都相同!
如果有人在選號的時候，直接選了6個連續號碼，像是08、09、10、11、12、13，是否非常不明智呢？因為像這樣的一組號碼，中獎率肯定比較低，是這樣嗎？
答案跟前一道問題一樣，沒有差。跟02、05、14、21、39、41相比，直覺上很容易以為這種號碼分散的組合比較容易中獎，但其實這兩組號碼的中獎機率一模一樣，都是1400萬分之1。我們會以為連號比較難中獎、而號碼分散比較容易中獎，其實是因為連號的組合比較少、而號碼分散的組合比較多，把很多種組合加在一起比，就以為它們好像比較厲害，但以單一組合相比時，其實沒有高下之分。
這邊用一個迷你樂透來幫助說明，從01～09挑兩個號碼，總共有36種可挑選的號碼組合，每一種組合被開出來的機率都一樣是1/36。而在這36種組合中，連號的情形有8種組合，不連號的情形有28種組合，所以我們會覺得連號比較少中獎，不連號比較常中獎，這是因為拿8組去跟28組比，本來就不公平。如果單比較03、04和02、07這兩個組合，其實一樣是1/36的中獎率，沒有哪一種比較厲害，連號的完全沒有比較差。
事實上，南非的樂透就曾開出6連號，05、06、07、08、09、10，結果有20個人共享頭獎。有些人質疑作假，認為不可能開出6連號，而且又同時這麼多人得獎。但稍加思考就不難想到，如果真的要作假，會想用這麼引人注目的一組號碼嗎？
另外，6連號會由很多人共享頭獎也是可想而知的。南非的樂透是50選6，有將近1600萬種組合，而6連號的組合只有45種，換言之，如果全都隨機選號，每1600萬張彩券大約只有45張6連號的彩券。但如果每2萬張樂透就有1張是為了好玩而畫成6連號（這個假設應該不過分），這樣的話，就變成每1600萬張大約有800張6連號的彩券，比純隨機大約多出20倍的量，這樣當然就會有很多號碼完全重複的6連號彩券囉！
因此，選6連號還是有缺點的，並非因為它比較不容易中獎，而是當你好不容易中獎的時候，得跟特別多的中獎者一起平分獎金！
●作者為教育部適性教學計畫「數學建築活動」教案設計人，任教北市石牌國中並指導政大橋藝社
原文出自《好讀周報》622期
