文／曾慶良（阿亮老師）
在我們的日常生活中，「測量」和「檢測」無所不在。無論是學校的考試成績，還是家中廚房的食材分量，甚至是體育課的跑步時間，我們總是使用各種數據來評估和比較。但你有沒有想過，有些檢測數據的結果可能存在誤差？就在最近的一個新聞事件，談到了食品安全檢測中的「零檢出」議題，這不僅是一個科學問題，更深入地反映了數學在我們生活中的重要性。
今天我們就來探討檢測誤差的意義與概念，從基本的數學概念到生活中的應用，再到跨學科的視角，讓你更充分的理解誤差，並學會如何在生活中智慧地處理這些看似微小但卻極其重要的數字。
●數學科學中的誤差 測量與實際的差異
提到「誤差」這個詞，你可能會想到一些小小的錯誤或偏差，比如打籃球的時候偏離目標的那一投，或者是烹飪時誤加了多一點的鹽。其實，在數學和科學中，誤差有著更具體和重要的意義。具體來說，誤差是指測量值和實際值之間的差異。想像一下，你在體育課測量100米的跑步時間，可能因為手錶的反應時間，或是啟動計時器的瞬間差異，而與真正的跑步時間有所不同。這裡的「不同」，就是我們所謂的誤差。
但誤差並不總是壞事。它其實是一個非常有用的概念，幫助我們理解和改進測量方法。就像科學家在實驗中會不斷地調整儀器，藉以減少誤差，從而獲得更精準的數據一樣。而在數學中，也會用一些有趣的方法來計算和分析誤差，讓我們能更深入地理解測量的本質。接著來看一個簡單但引人入勝的例子：「圓周率π的計算」。
圓周率π是一個無理數，這意味著它的小數點後面的數字無限且不重複。因此，我們無法精確地計算π的真實值，只能逼近它。想像一下，如果我們用「22除以7」來近似π，我們得到的值大約是3.142857。而實際上，π的前幾位是3.141592……在這裡，我們用到的近似值和π的真實值之間的差異，就是一種誤差。雖然這個近似值對於日常生活中的大多數計算來說已經足夠精確，但在一些需要非常高精度的科學和工程計算中，這種誤差可能會導致重大的差異。
隨著數學和計算技術的進步，科學家們已經計算出π的數百甚至數千萬位。但這依然只是對π的一個逼近，因為π是無限的。每一次進一步的計算，都在減少我們的近似值與π真實值之間的誤差，但完全消除這個誤差是不可能的。
●系統誤差 軟硬體造成 隨機誤差 通常不可控
檢測誤差的基本類型有：系統誤差和隨機誤差。
所謂的「系統誤差」通常是由不完善的測量設備或者不正確的操作方法所導致。例如用一把彎曲的尺測量長度所得到的數據自然會有誤差。而「隨機誤差」則通常是由無法控制的外部因素造成的，例如氣溫波動或是測量者測量時的操作所產生。這裡讓我們來認識數學中誤差概念的幾個專有名詞：
①平均值：是一組數據的平均值，可以幫助我們了解數據的一般趨勢。
②標準差：描述數據與其平均值的平均差異程度，用來量化數據的「分散程度」。
③變異數：是標準差的平方，它也反映了數據的分散程度。
例如，假設小亮同學的數學單元小考中，連續5次得分分別為：85、90、88、87和91分。我們可以計算這些分數的平均值，幫助我們了解小亮的一般表現水準，而標準差則能顯示小亮成績的穩定性。
上面的3個數據中，平均值的計算為：
總分／次數＝（85+90+88+87+91）／5＝88.2分
標準差的計算為：（每次分數與平均值的差）的平方加總所得後，除以次數的數值結果再開根號，將計算過程列出如圖。
因此，我們知道小亮5次考試平均分數為88.2分，標準差為2.14分。如果我們又得到另一位同學丘陵的5次考試平均分數為91.5分，標準差為16.25分。則我們可以這樣子推論：
就5次的平均值來說，丘陵同學比小亮同學成績較高，但是由標準差的結果可以得知丘陵同學的各單元程度不一、變化非常大，表示丘陵同學有些單元非常拿手，有些單元卻需要多加強。
因此，透過檢測的數據結果，我們可以清楚地描述實際狀況，進而做出應對或改善措施。
除了數據誤差，實驗中也有許多的誤差；例如在物理實驗中，測量小球落下的時間，由於人眼對快速運動反應的延遲，測量結果可能會略有不同（這種差異就是隨機誤差的一個例子），因此，需要以其他儀器（例如紅外線感測）來輔助實驗。
選舉中經常看到的民意調查，施測單位進行調查時，通常只能訪問一部份的人，然後用這些數據（稱為樣本）來代表整個群體（稱為母體），由於抽樣的限制或樣本的偏差，這些結果可能無法完全代表所有人的意見，這種抽樣的誤差（稱為標準誤差）差異數值可以透過計算而得出。例如，某數位平台對於某候選人的支持度調查中，填表人數總共為253人，候選人支持度p為35%，因為調查抽樣的標準差公式為√p（1-p），我們可以計算標準差為√0.35（1-0.35）≈0.4769，又因為標準誤差的公式是（標準差／√抽樣數），，因此我們可以計算得到標準誤差為（0.4769／√253）≈0.03=3％。民調抽樣中有這樣的論述：在95%的信心水準下，真正支持度會落在此次抽樣的支持度正負兩個標準差之間；這個例子就是（47.69%-2×3%，47.69%+2×3%），所以是41.69%與53.69%間。
●原料機器 產生影響 誤差範圍 處處可見
日常生活中，也會看到存在著一定誤差範圍如±3%的誤差數字。例如，你去便利商店購買的零食包裝，包裝上印有「300g±5%」的標示。這表示實際的重量可能會在285g到315g之間。因為300g的5%是15g，所以當你購買這包零食時，真正的實際重量與標示的300g可能會有所出入，只要不超過這個5%的誤差範圍，就算在正常規範標準之內。而這個誤差的原因，可能因為原料的微小差異、機器的精準度，甚至是環境因素，如溫度和濕度的變化等，而影響產品的重量。
●殘留量 技術驗不出 零檢出 並非不存在
最後，讓我們回到一開始談的「零檢出」議題，它在食品安全檢測中是一個重要的概念。當一項檢測結果為「零檢出」時，並非該樣本中完全沒有被測量的物質，而是該物質的含量低於檢測儀器的檢測限度。換句話說，即使樣本中有微量的物質存在，但如果其含量低於檢測設備可以檢測到的最小限度，則檢測結果就會標示為「零」。
這項概念對於理解食品安全標準非常關鍵，例如，政府在檢查某種農產品是否殘留農藥時，「零檢出」的報告可能讓消費者放心，但這並不代表該農產品絕對沒有任何農藥殘留，而是表示這些殘留量低於檢測技術的範圍。
舉一個實際的例子，如果某種食品的農藥殘留標準是每公斤0.01毫克，那麼在檢測過程中，如果一個樣本中的農藥含量低於這一標準，即使實際上有微量農藥存在，結果也會被標示為「零檢出」。
●訓練過程也有誤差 AI模型非十全十美
在人工智慧和機器學習領域，AI模型在訓練過程中不可避免地會產生誤差，這些誤差可能來自數據的不完整性、模型的不精確性，甚至是演算法本身的局限性。例如我們對於醫學診斷、股市預測，或是在語言翻譯和影像識別中，AI模型生成的誤差都可能影響對辨識結果的處置。因此，我們應當學會在不完美的世界中尋求更高的精度和真理，同時也應該認識到某些情況下的局限性，從而使我們能夠更智慧地與這個充滿數據的世界互動。
作者為教育部高中數學學科中心研究教師、台北市3A教學基地中心主任，獲北市特殊優良教師。
原文出自《好讀周報》762期
