看穿賭局玄機
再三個多星期就要放寒假、過新年了，有些長輩過年會主持各種有趣賭博遊戲， 像是打麻將、刁十三隻、21點、甚至賭骰子，每一項都讓人覺得非常有意思。 其中有些遊戲是賭場會見到的，像21點和賭骰子便是， 既然賭場會有，表示這些遊戲長期而言莊家（賭局的主持人）的贏面會比較大，讓我們一起看看箇中奧祕。
●賭骰子無關技術 勝負全憑運氣！
賭骰子可以說是最簡單的賭博遊戲了，完全沒有任何技術成分，勝負全憑運氣！
這邊介紹一個流行於台灣民間的賭骰子遊戲，叫做「三六仔」，只要有三個骰子、一個大瓷碗，再繪製一張簡單的遊戲板即可，盤面如圖所示。
這個遊戲需要一名莊家，其他玩家將自己的籌碼押注在預測的點數上，接著莊家同時擲下三顆骰，勝負計算方式是：
如果玩家有押中開出的點數，每押中一顆骰子點數，莊家就要賠他一倍的籌碼；如果三顆骰子點數都沒押中，該份籌碼則被莊家沒收。
譬如開出的點數是2點、5點、6點，那麼莊家就要賠這三格裡面全部籌碼的一倍，也就是押一個籌碼的可以取回兩個籌碼，而押2個籌碼的則可以取回4個籌碼；至於押在另外三格內的籌碼，則全數被莊家沒收。
再譬如開出的點數是1點、5點、5點，那麼押在1點的同樣是贏回多一倍的籌碼。而押在5點的則可以多贏得2倍籌碼，押2個籌碼就可以取回6個！
如果3顆骰子點數都一樣，押中的玩家甚至可以贏得3倍的籌碼呢！
●看似對玩家公平 實則對莊家有利
這個遊戲要猜的格子有6格，而莊家有3顆骰子要賠錢，所以對玩家似乎很公平，從第一個「2點、5點、6點」的例子，應該就很容易讓人感覺這個遊戲很公平。此外，如果押中2個骰子甚至3個骰子，莊家還會賠你2倍甚至3倍的籌碼，這豈不是太好了嗎？
但事實上，這個遊戲其實還是對莊家有利，而且莊家的利益竟然還是來自於乍看之下對玩家很有利的「兩倍獲利」甚至「三倍獲利」的情況，這是為什麼呢？
其實我們只要用數格子的方式就可以明白，在第一個丟出2點、5點、6點的例子中，莊家收了3個格子的籌碼，賠3個格子的籌碼，也就是收3份錢、輸3份錢。但在1點、5點、5點的例子中，莊家雖然要賠2份5點，但總共還是只賠了3份錢，反倒是多收了一個格子的籌碼！如果莊家擲出三顆骰子相同點數就更賺了，因為同樣是賠3份錢，但卻可以收到5個格子的籌碼！
我們也可以仔細計算一下，看看押注在盤面上1個籌碼的預期效益有多少。
先計算預期收入，如果只看一個骰子，它會有6分之1的機率是籌碼押注的數字，也就是6分之1的機率賺取到1個籌碼，所以這顆骰子平均而言會帶來6分之1個籌碼；而因為有3個骰子，每個骰子平均而言有6分之1個籌碼的收入，所以3顆骰子預期收入總共是6分之3，也就是平均可贏取2分之1個籌碼。
再接著計算預期損失，當3個骰子都沒有命中押注的數字時，我們就會失去這個籌碼，這個機率是6分之5的3次方，所以我們有216分之125的機會輸掉這個籌碼，也就是平均會輸掉216分之125個籌碼。
兩相比較會發現，預期損失比預期收入還多216分之17，意思就是每押注1個籌碼，平均而言會輸掉216分之17個籌碼！
●根據點數來要牌 玩21點需判斷力
接著來看另一個更著名的遊戲，那就是全世界每個大型賭場裡不可或缺的重要遊戲——「21點（Black Jack）」。
21點的遊戲目的是要讓自己的點數比莊家大，且不能超過21點，各張牌代表的點數如表所示。
簡易版的遊戲流程如下：
①玩家和莊家每人各先發兩張牌，莊家其中一張牌會攤開在桌面上。（如圖所示）
如果玩家的牌正好是一張A和一張10點，加起來剛好就是21點，這種情況叫做「Black Jack」，發生率大約5%，除非莊家也是「Black Jack」，否則要賠給玩家1.5倍籌碼。
②每位玩家輪流決定還要不要增加牌，玩家的點數只要一超過21點就算輸，籌碼立即被沒收。
以圖片中的牌局為例，最左邊的玩家已有19點，他一定不會再要牌，而左邊數來第二個玩家只有9點，勢必會先再要一張牌。
③莊家開底牌，點數不到17就要繼續加牌，點數達到17以上就不能再增加牌。
也就是說莊家不能自行決定要不要加牌，只是個被遊戲規則牽著走的發牌機器人。
④如果玩家和莊家都不超過21點就比點數，玩家點數多可贏得1倍籌碼，玩家點數少則籌碼被沒收，點數一樣就是平手不分輸贏。
21點這個遊戲既要靠運氣，也要靠一些判斷力，你要根據自己現在的點數，以及莊家亮出的牌，來決定是否繼續要牌。
●玩家點數爆掉就輸 遊戲規則有利莊家
事實上，21點也是對莊家有利的遊戲（當然，否則怎麼會出現在賭場呢），主因是玩家的點數爆掉（超過21點）立即算玩家輸，就算莊家後來跟著爆掉也沒用，籌碼早已沒收了。
實際上桌的時候，點數如果只有11點以下肯定是繼續要牌，而點數在17點以上則幾乎不可能繼續要牌，比較困難的就是拿到12到16點的時候，要牌怕爆掉，但不要牌的話點數太小，完全只能寄望莊家爆掉。
以圖片中最右邊的牌為例，兩張牌加起來13點，相當不妙；但值得慶幸的是，莊家亮出來的牌（4點）也不好。因為這個遊戲的10點牌很多，我們可以希望莊家的另一張牌是10點，這樣莊家就是14點；而依照規則，莊家不到17點必須加牌，只要下一張來的是8點、9點或10點，點數就爆了！
莊家不到17點就必須加牌的這條規則，真可以說是玩家的一項重要武器。
●大牌比例愈高 莊家愈容易爆牌
2008年有一部電影叫做《決勝21點》，內容說的是一群頭腦絕佳的頂尖高手，他們運用數學方法，找出了21點的破綻，組隊到賭城大賺一票賭金的故事。
他們所用的方法就是計算出過的「大牌」（10、J、Q、K、A）和「小牌」（2、3、4、5、6）數量；如果大牌出現過很多，表示牌堆裡剩下的大牌不多，如果大牌出現過的不多，表示牌堆裡剩下的大牌會偏多。
如前面所說，21點是對莊家有利的遊戲，正常狀況下，莊家的勝率是高於玩家的；但當牌堆中剩下的大牌很多、小牌很少，且比例懸殊到某種程度時，局勢就會轉為對玩家有利，這是因為大牌的比例愈高，玩家就愈有機會靠著莊家爆掉取勝。
這部電影是真人真事所改編，後來賭場為了防堵這種情況，會用更多副牌洗在一起，這樣做可以讓大牌和小牌的比例不容易變得太懸殊。此外，一疊牌不會用到快完才洗，因為剩下的牌張太少時，也會容易發生大牌和小牌比例懸殊的狀況。
今天學到了不少賭博相關的知識，還是要提醒一下讀者們，過年跟家人團圓小賭、交流情感無傷大雅，但到了外面可切記要和賭博保持距離，我們就只討論數學！
●作者為教育部適性教學計畫「數學建築活動」教案設計人，任教北市石牌國中
【2022-12-26/聯合報/R06.07版/好讀周報動腦力】
