文╱洪介興
●問題1╱3個數相加為12 請問有幾種組合
你的思考有條理嗎？首先請你挑戰看看這個問題：
挑選3個不同的正整數，使它們的總和是12，請問總共有幾種不同的組合？
如3+7+2和7+2+3這般只是調換相加順序的，算是同一種組合，請先試著想過再繼續看下去喔。
公布答案：總共有7種組合，分別是：
1+2+9、1+3+8、1+4+7、1+5+6，和2+3+7、2+4+6，以及3+4+5。
觀察力敏銳的讀者可能會發現，上面這7個算式的陳列是有其邏輯的。因為如果只是隨意地抓數字來湊，很容易就會有重複或遺漏，所以要有系統地進行思考才能又快速又正確，這裡所採用的思考邏輯如下：
①因為調換相加順序算同一種組合，所以算式中的數一律由小而大排列。
②先固定最小的數是1，找出有使用到1的所有組合後，再把最小的數換成2，然後再換成3。
③最小的數固定下來時，中間的數由小而大一個一個列舉，譬如最小的數固定是1時，中間的數先放2，再放3、4、5。
在有系統的列舉下，我們可以很肯定這就是所有的可能性，沒有重複、也沒有遺漏，這就是系統性思考的威力。
●問題2╱連接5圈不重複 請問有幾種路線
瞭解了系統性思考的精神後，再請你接著挑戰下面這個問題：
下圖中有5個小圈圈，其中有一些線段將它們相連，挑選其中一個小圈圈出發，用一筆畫把每個小圈圈都恰好走過一遍，走過的地方（包括起點）都不能重複，請問共有幾種不同的路線？
譬如A→C→D→E→B就算是一種走法，但C→A→B→C→D→E則不行，因為C重複了。這裡還是要提醒你，先嘗試過後再繼續看下去喔！
公布答案：總共有14種不同路線，分別是：
1. A→B→C→D→E
2. A→B→E→D→C
3. A→C→B→E→D
4. A→C→D→E→B
5. B→A→C→D→E
6. B→E→D→C→A
7. C→A→B→E→D
8. C→D→E→B→A
9. D→C→A→B→E
10. D→E→B→A→C
11. D→E→B→C→A
12. E→B→A→C→D
13. E→D→C→A→B
14. E→D→C→B→A
從以上的排列，可以看出這是有系統地逐點仔細搜索結果，不會有遺漏，也不會有重複。
●問題3╱如何用4條直線 一筆連起9圈
接著再來挑戰下面這個問題：
圖中有9個小圈圈，請用4條直線段，一筆畫把9個小圈圈都經過。
旁邊是一個失敗的例子，因為它用到了5條直線段。
請仔細思考後再繼續往下讀。
如果你經過系統性思考後，發現這是一道不可能做出來的題目，表示你的思考相當縝密喔！
●問題4╱如何用4條直線 一筆連起12圈
接著我們看下一道很類似的題目：
請用4條直線段，一筆畫把圖中的12個小圈圈都經過。
完成這一題後，再回頭看看前面那道要畫9個點的題目，只要把這一題多出來的3個點視而不見，就和前一道題目一模一樣了，這時候你有沒有突然恍然大悟，原來前一道題是可以解出來的！
我們之所以會解不出9個點的題目，其實是因為被自己的思考框架所侷限，由於沒想到可以畫到超出9個圈圈的範圍，才會一直完成不了！因此我們要突破思考的框架，但這要怎麼辦到呢？
突破思考的框架，聽起來好像是靠創意，但其實還是要建立在邏輯的基礎上。以前面9個點的題目為例子，要經過縝密的系統性思考後，才能確定在原本的規則下沒有解決辦法，進而才能意識到，一定要放寬某些規則才有機會解開這個問題。
●問題5╱改用3條直線 能否連起9圈
緊接而來的下一個挑戰是：
請用3條直線段，一筆畫把前面圖中的9個小圈圈都經過！
你能夠辦到嗎？可不要急著投降喔！
題目給的雖然是9個小圈圈，但我們很容易把它們侷限成9個「點」，而忽略了其實可以利用圈圈有一個範圍的這個特性。
用一條直線段把同一橫排的3個圈圈串在一起時，其實可以不必用水平線，而是可以用微微傾斜的直線段，現在請你想像一個寫得非常、非常、非常寬的「Z」字，它就是這一題的答案囉！你有沒有想到呢？
原本我們以為一筆畫的4條直線段辦不到的題目，不但完成得了，現在竟然還能用一筆畫的3條直線段完成，是不是很驚奇、很有趣呢？
●問題6╱只用一條直線 能否穿過9圈
下一個挑戰更會讓你大吃一驚：
請用一條直線段把圖中的9個小圈圈都經過！
你能通過這個終極挑戰嗎？有個方法是把紙張捧到眼睛的高度，從紙張的側面看過去，這時候9個小圈圈是不是都落在同一條直線上了呢？
上面這個答案雖然很有創意，但恐怕有些人會覺得這個解法過於牽強，那麼也請參考下面這個解法，看看是否更具有說服力。
首先畫三條貫穿整張紙的水平線，每條線各經過3個同一橫排的小圈圈，接著把紙張捲起來，讓剛才畫好的水平線兩端得以碰觸，但要以下圖的方式錯開一行，如此一來，3條直線段就變成同一條線了！不過，這條彎掉的直線還算不算得上是一條直線呢？這可能就見仁見智囉！
●終極題╱62-63=1 如何讓算式成立
今天的最後一個問題來了：
62－63＝1
只移動一個數字，使上面的算式變成正確的。
把減號前面的6或2移到減號後或等號後都不可能，因為這樣減法做起來會變成負數；把減號後面的6或3移到減號前或等號後也不可能，把1移到等號左邊更不可能；因此，只有單純的減法是無法解開這道題的，勢必要突破框架。
想到了嗎？答案就是把6拿到2的右上角，變成2的6次方，也就是64，這麼一來，算式2的6次方-63＝1就正確了！
縝密的系統性思考，除了能讓我們毫無遺漏地進行搜索，甚至還能讓我們在排除所有可能性後，意識到必須放寬規則、跳脫框架，才能探索更多的可能性！也就是說，創造力並非天馬行空，而往往建立在縝密的思考之上。
●作者為教育部適性教學計畫「數學建築活動」教案設計人，任教北市石牌國中
原文出自《好讀周報》665期
