文／曾慶良（阿亮老師）
是否曾遇過這樣情況：在與人交談時，對方的表情讓你難以理解到底是高興、難過，還是生氣？在人際交往中，讀懂他人的情緒對我們來說相當重要，這會影響我們的回應方式和互動。然而，並非每個人都擅長察言觀色，這可能導致溝通上的困難和誤解。
想像一下，如果能將臉部表情轉化為可量化的數據，是否能更準確地理解他人的情緒呢？讓我們一起學習如何將數學結合人工智慧（AI），解讀人類的情緒，把外在的情緒表情轉化為數學曲線，透過數學分析臉部肌肉的變化，並將數據以科技輔助做更加精準的判斷，建立關聯。
⊚利用曲線方程式 量化微笑嘴角弧線
當我們微笑時，臉部的肌肉會產生一系列有趣的變化。這些變化不僅僅是嘴角上揚，還包括眼睛、臉頰和額頭等部位的協同動作。我們如何用數學來描述這些複雜的表情呢？先來盤點我們臉部表情所涉及的主要感官和肌肉，以「微笑」為例：
●眼睛：微笑時，眼睛可能會微微瞇起，眼角上揚。
●嘴巴：嘴角上揚形成弧度，是微笑最明顯的特徵。
●臉頰：微笑時，臉頰的肌肉上提，使臉部輪廓發生變化。
●額頭：開心時，肌肉放鬆，皺紋減少。
我們試著用數學的函數曲線來描述嘴角的上揚。當我們微笑時，嘴角會形成一條弧線，這條弧線可以用數學中的曲線方程式來描述。例如，我們以拋物線來量化描述微笑：拋物線就是我們所說的二次曲線，可以用方程式y=ax2+bx+c來表示。我們可以將嘴角的弧度近似為一段拋物線。假設我們拍攝一張微笑的照片，並在照片上標記嘴角弧線的幾個關鍵點。
透過這些點，我們可以計算出嘴角的弧線，例如使用「迴歸」的方法找到最適合的拋物線方程式。經過計算，我們得到：y=-0.02×2+0.8，這個方程式量化描述了嘴角的微笑程度。接下來，我們就要找出這個方程式與微笑程度的關聯度了。
⊚加入肌肉曲線變化 定義不同程度的笑
所謂的斜率表示兩點間相連直線的傾斜程度。我們可以在上面這個微笑的曲線中找到相近的兩點計算出斜率，斜率可以反映嘴角上揚的幅度。例如：
●迷濛的笑：嘴角上揚角度較小，曲線斜率較平緩。
●開懷大笑：嘴角上揚角度較大，曲線斜率較陡。
透過計算曲線在不同點間的斜率，我們可比較不同程度的笑。例如在點C(x=0)處，開懷大笑的曲線斜率可能比輕微微笑的斜率大，這表示嘴角上揚得更多。如此，當數據愈多，我們對於數據比對所觀測到的結果後，即可以定量出對於「不同程度的笑」的定義了。
但是，人類的表情複雜，如何區分真心微笑與禮貌微笑呢？這時可以加入更多變因，例如我們可以加入對於眼部和臉頰肌肉曲線變化的觀測：
●真心微笑：眼角出現細紋，臉頰上提，曲率較大。
●禮貌微笑：主要是嘴角上揚，眼部和臉頰變化不大，曲率較小。
這裡所謂的曲率，就是描述一條曲線彎曲程度的數值。曲率愈大，曲線彎得愈厲害；曲率愈小，曲線愈接近直線。
透過計算眼角、臉頰上法令紋曲線的曲率，我們可以區分出真心微笑與禮貌微笑。例如，真心微笑時，眼角和臉頰的曲線曲率增加，這可以作為識別真實情緒的依據。不過，要將臉部表情轉化為數學模型並非易事，在過去，主要的挑戰有幾項：
●個體差異：每個人的臉部特徵和表情方式都不同，需要針對個體進行模型調整。
●三維空間的轉化：因為我們的臉部是三維，因此需要將三維的曲線投影到二維平面，但過程中可能會有資訊的損失或偏差。
●動態的變化：因為人的表情是連續變化，需要連續的捕捉數據才能精確描述。
現在，我們可以藉由科技解決這樣的問題。例如使用高速攝影機或深度學習感測器，精細地捕捉臉部肌肉的細微變化，然後再以數據處理軟體提取臉部關鍵點，進行數學模型的構建，最後計算數據得出結果。
⊚嘴與鼻尖 量化夾角 角度愈大 笑愈明顯
我們可以使用紅外線深度攝影機來捕捉臉部的三維數據，記錄臉部關鍵點在三維空間中的座標，讓我們更精確地分析臉部表情；假設我們選取了臉部的3個關鍵點：左嘴角（L）、右嘴角（R）、鼻尖（N），我們讓一位參與者在沒有微笑和微笑的情況下，各自拍攝一張照片，並取得這些關鍵點的座標（單位：毫米）。
這意味著嘴角相對於鼻尖的位置向上移動，與y軸的夾角變大，這符合我們對微笑時嘴角上揚的理解。
透過計算嘴角與鼻尖之間的夾角變化，我們可以量化微笑的程度，也就是角度增加表示嘴角上揚，微笑更明顯，能清楚地解釋如何利用三維座標和數學計算來量化微笑，進而透過人工智慧科技的輔助，精確地捕捉臉部的細微變化，並用數學模型進行分析，為AI的情緒辨識提供可靠的數據基礎。
⊚給予文字分數 情緒也能量化
情緒不僅表現在外顯的表情，還可以從人們撰寫的文字中體現出來。將文字轉化為數據，我們能更全面地分析人們的情緒表達。這不僅有助於了解消費者的反應，還能應用於心理健康監測、社會輿情分析等領域。那麼，我們可以如何利用數學和AI，從文字中分析情緒呢？
首先需要將文字中的情緒轉化為可量化的數據，可透過定義一些情緒指標來實現。例如：
●情緒詞彙計數：統計文章中正面或負面情緒詞的數量。
●詞彙情緒分數：為每個詞彙賦予一個情緒分數，正面詞給予正分，負面詞給予負分。
●句法結構分析：分析句子的結構，判斷語氣的強烈程度，如感嘆句、疑問句等。
我們可先建立一個「情緒詞典」。這個詞典包含大量的詞彙，並為每個詞彙標註其情緒屬性和強度。例如：
正面詞彙：開心（+2）、喜愛（+3）、精彩（+2）
負面詞彙：生氣（-2）、失望（-3）、糟糕（-2）
假設我們有一則社群貼文：「今天的天氣真好，心情也跟著愉快起來！期待週末的旅行。」可以按照以下步驟進行情緒分析：
步驟1：詞彙分割
先將句子切分成單詞，所以變成：[今天]、[的]、[天氣]、[真好]、[，]、[心情]、[也]、[跟著]、[愉快]、[起來]、[！]、[期待]、[週末]、[的]、[旅行]。
步驟2：匹配情緒詞彙
可以由情緒詞典中找出匹配的詞彙：正面詞彙：[真好]（+2）、[愉快]（+3）、[期待]（+2），負面詞彙為0。
步驟3：計算情緒分數
將匹配到的情緒詞彙分數相加。
總情緒分數：2（真好）+3（愉快）+2（期待）=7
最後我們可以根據總分數的正負來判斷情緒是正面還是負面，這個例子中，由於總分數為正，且數值較高，可判斷為「強烈的正面情緒」。
有了人工智慧的加持後，我們可以運用機器學習和深度學習技術，讓AI從大量的文本數據中學習情緒特徵。我們可以先收集大量已標註情緒的文本，作為模型的訓練資料，而後使用數學方法將文字轉化為數值特徵，如詞類出現的頻率。最後運用合適的AI演算法來訓練情緒分類模型，完成後就可以運用這樣的模型來辨識文字的情緒傾向。
不過，因為文字有時不若表面呈現的那樣，有些文字表面是正面的，但實際上卻是負面的（例如：「這服務真是太棒了，我等了兩個小時才輪到。」），或者同一個詞在不同語境下可能有不同的情緒含義（例如：「今天去的這一家店的服務人員總是非常「冷」的面對我們的需求」），這可能會讓AI難以辨識而造成情緒上的誤判，要解決這樣的問題有賴透過語言模型的「預先處理」（例如：預先輸入大量的詞彙來做分群歸納等方式），才能提高其對於文本情緒的辨識能力了。
⊚作者為教育部高中數學學科中心研究教師、台北市3A教學基地中心主任，獲北市特殊優良教師
