文╱洪介興
●等速加法╱1分鐘增加9 2分鐘顯示多少?
請你想像一台機器，我們姑且稱它是等速加法機器吧。這台機器有一個顯示數字的螢幕，會顯示當前的數值，最初的起始值是0；一個旋鈕，可以調整螢幕上的數值每分鐘要增加多少；按下開始鍵後，螢幕上的數值會根據你設定的速度增加；按下暫停鍵，螢幕上的數值就會暫停變化；最後還有一個重設鍵，按下後，螢幕上的數值會恢復到0。特別要補充的是，螢幕上的數值並非等到1分鐘到了才突然增加，而是隨時做連續的變化。
舉例來說，螢幕上一開始顯示的數值是0，如果把加法速度設定為每分鐘增加9，按下開始鍵、1分鐘後按暫停，此時螢幕上的數值會是9。那麼請問你，如果是2分鐘後才按下暫停鍵，螢幕上的數值會是多少？另外，如果半分鐘後就按暫停，螢幕上的數值又該是多少？
每分鐘增加9，多1分鐘就是再加9，所以若是2分鐘後才按暫停，螢幕上的數值會是18；至於半分鐘，應該是增加9的一半，若是半分鐘就暫停，數值應該是4.5。
●等速乘法╱1分鐘變9倍 半分鐘顯示多少?
另一台機器，姑且稱它是等速乘法機器。它的構造和等速加法機器一樣，有一個顯示當前數值的螢幕、一個旋鈕、開始鍵、暫停鍵和一個重設鍵。不同之處在於，旋鈕所控制的是螢幕上的數值每分鐘要變為幾倍，而非每分鐘增加多少；另外，螢幕上的起始數值是1，而不是0，因為乘法對0發揮不了作用，0是加法世界的起點，而1是乘法世界的起點。
接著來看一個等速乘法機器運作的例子，螢幕上原本顯示著1，如果我們把乘法速度設定為每分鐘9倍，在按下開始鍵的1分鐘後按暫停，螢幕上就會是9。問題來了，如果是2分鐘後才按暫停鍵，螢幕上的數值是多少？如果半分鐘後就按暫停，螢幕上的數值又該是多少？
每分鐘變為9倍，多1分鐘就是再變為9倍，所以若是2分鐘後才按暫停，螢幕上的數值顯然會是81，如果再多1分鐘，那就是再9倍，變成729；但如果半分鐘就按暫停呢？
●看答案╱變化倍率要相同 半分鐘會顯示3
一個很直覺的想法：從1開始變化，1分鐘後會變成9，所以半分鐘應該會在1和9的正中間，也就是5。上面的想法雖然不無道理，但其實這是加法的思維，不適用此處。
另一個可能的想法：既然1分鐘後會變成9倍，那麼半分鐘應該就是9的一半，4.5倍，而1的4.5倍就是4.5。這個想法看似更合理，但深入思考會發現，前半分鐘從1變成4.5，這樣是4.5倍；而後半分鐘從4.5變成9，這樣是2倍，兩者倍率不同。既然機器是做「等速乘法」，照理前半分鐘、後半分鐘的變化倍率應該要相同才對吧！
討論到此，答案應該呼之欲出了。因為前半分鐘的變化倍率，要和後半分鐘的變化倍率相同，而且經過兩次乘法要變為9倍，9＝3×3，所以，在半分鐘按下暫停時，螢幕上應該是3才對。
依循這個道理，如果把乘的速度調到每分鐘25倍，因為25＝5×5，所以半分鐘就是變5倍；當乘倍的速度調成每分鐘100倍時，100＝10×10，所以半分鐘就是10倍。
●考考你╱每分鐘變2倍 半分鐘顯示多少？
現在我們應該相當熟悉等速乘法機器的運作了，最後的挑戰來了：如果把乘倍的速度調到每分鐘2倍，半分鐘就按暫停，這時候螢幕上的數值會是多少呢？
聰明的你應該已經想到，就是要找一個自己乘以自己剛好等於2的數囉！1.4×1.4是1.96，太小；1.5×1.5是2.25，又太大，那到底是多少呢？
如果螢幕上的數值可以顯示3位小數，那麼半分鐘後，螢幕上會是1.414，把這個數自己乘以自己會得到1.999396，雖然已經非常接近2，但仍不是2。事實上，再多位小數，都沒辦法寫出一個自己乘以自己剛好等於2的數，甚至用分數也辦不到！原因有點複雜，但我試著用簡單的方式來說明。
如果拿一個小數自己乘以自己，絕不可能小數點後全為0，就像1.414自己乘以自己，算出的小數最後一位是6，所以絕對寫不出一個自乘會等於2的小數。至於分數，任何最簡分數自乘以後，得出的答案一定無法進行任何約分，所以也就不可能有一個分數自乘以後可以約分成2。
●想想看╱小數分數寫不出來 自己乘自己怎表達
小數寫不出來，分數也寫不出來，會不會是這個數本來就不存在呢？
不，這個數當然存在，他就存在於正方形的對角線上！如圖三所示，假設每個小正方形的邊長是1，面積也是1，四個小正方形的對角線，圍出了一個轉45度角的正方形，不難看出這個正方形的面積是2，但邊長是多少呢？沒錯，就是它！自己乘以自已要等於2，大約1.414，用小數或分數都無法完整表達的那個數！
我們知道有些數用小數無法表達，只能用分數表達，現在又冒出一個連分數也無法表達的數，這時候便需要一個新的記錄方法，因此我們用「 √2 」來表示這個自己乘以自己會等於2的數，它讀作「根號2」；同理，√3 、√5 、√6 就表示自己乘以自己會等於3、等於5、等於6的那些數，大約是1.732、2.236、2.449。
●告訴你╱紙張尺寸 暗藏√2特性
進行文書作業時，最常見的紙張尺寸大概不外乎A3、A4、B4、B5，而這些紙張尺寸中其實暗藏著很厲害的特性。把A3的紙從長邊對半切，就會變成兩張A4；而把B4從長邊對半切，就會變成兩張B5。厲害的是，當我們把切完的紙張轉90度後，你會覺得紙張跟原來相比只是縮小了，沒有變得比較胖或比較瘦。事實上，你還可以繼續把A4對切成A5，把A5對切成A6；也可以反過來把兩張A3合併成A2，兩張A2合併成A1，紙張形狀都不會改變。
我們會感覺形狀不變，是因為紙張的長邊和短邊比值固定；你是否納悶，怎麼根號講到一半，突然另闢主題呢？這是因為若想讓紙張對切後形狀不變，則長邊和短邊的比值就必須符合自己乘以自己等於2，也就是 ！（圖四）
以我們非常熟悉的A4紙張為例，它的長邊是297公釐、短邊是210公釐，比值約為1.41429，而 的近似值為1.41421，之間的誤差不到萬分之一。可見A4規格的發明人非常有數學素養呢！
●作者為教育部適性教學計畫「數學建築活動」教案設計人，任教北市石牌國中並指導政大橋藝社
原文出自《好讀周報》620期
