賴以威（數感實驗室）
棒球比賽中，打擊率是衡量打者的量化指標之一。美國大聯盟曾經有過這麼一段有趣的比較，比較對象是兩位明星球員，吉特與賈斯提斯。1995年時，吉特的打擊率約是2成5，略遜於賈斯提斯的2成56；隔年，吉特的打擊率提升到3成14，賈斯提斯則暴增到3成21。連續兩年賈斯提斯的打擊率都比吉特高，看起來勝負已分。
然而，如果我們把這兩年個別的打數相加，安打數相加，再拿總安打數除以總打數，所得到的平均打擊率，吉特的平均打擊率卻優於賈斯提斯的打擊率。為什麼每年打擊率都比較高的賈斯提斯，平均打擊率卻輸給吉特呢？
先讓我們用數學思考一個問題，a/b>A/B，c/d>C/D，請問(a+c)/(b+d)一定大於(A+C)/(B+D)嗎？你應該很快知道答案是否定的，畢竟學校數學課從來沒教過我們分數可以這樣運算。再仔細想想，a代表賈斯提斯1995年的安打數，b代表該年打數。A與B代表吉特同年的安打數與打擊數，其他的變數依此類推。(a+c)/(b+d)則是賈斯提斯的兩年平均打擊率。明明數學上明顯不必然的事情，但用文字思考時，我們卻容易被直覺誤導，認為理所當然，這就是所謂的「辛普森悖論」。
悖論發生的關鍵在於， 1995年兩位打者打擊率較低，1996年都較高。然而，吉特在1995年的打數比較少，1996年有很多打數。賈斯提斯剛好相反，1995年的打數很多，1996年打數很少，因此當計算平均時，賈斯提斯的打擊率會更靠近較低的1995年，集特則會靠近打擊率較高的1996年。換句話說，如果我們想根據兩年的打擊率來計算平均打擊率，得根據打者各自在兩年的打數，賦予不同的加權參數計算。不能用同一組參數加權，更不能想成是相加除以二這麼簡單。
本文轉載自聯合報教育版「閱讀數學」專欄，更多好文請上「數感實驗室」
