賴以威（數感實驗室）
選舉快到了，許多人很在意一個問題：我支持小黨，但萬一它沒過門檻，反而浪費一票。是不是其實該投第二支持，但一定過門檻的大黨呢？這是個非常複雜的問題，這次我們試著用期望值，來幫助大家決策。先講直觀的結論：
1. 小黨越容易過門檻，越該投它。
2. 大黨得票率越低，越該轉投它。
3. 相對於大黨，你到底有多愛小黨？這決定了一切。
※ 期望值分析
請容許我們介紹幾個變數：
1. A：投給小黨且它過門檻時，獲得的回饋。
2. B：投給必過門檻的大黨，獲得的回饋。A>B
3. P：小黨過門檻的機率
4. C%：大黨得票率
接下來就是「投給小黨」與「投給大黨」的期望值比較了。「投小黨」有兩種可能：
P的機率，小黨過門檻；(1-P)的機率小黨沒過，不過你的票沒被完全浪費，有C%被分配給大黨。因此總計投給小黨的期望值為
A×P+B×C%×(1-P)
「投大黨」的期望值相對簡單，就是B
換句話說，「投小黨期望值＞投大黨期望值」這個條件將可用以下數學式子表示
A×P+B×C%×(1-P)>B
此時你該投小黨。把式子整理一下，你會得到更精簡的結果:
A/B>(1-C%×(1-P))/P
A/B可以視為「相對於大黨，你更支持小黨幾倍」。
換句話說，我們可以根據大黨的得票率(C%)、小黨能否過門檻的機率(P)，計算出一個相對支持度的臨界值(threshold)。
※
如果相對於大黨，你支持小黨的決心高於此臨界值，你就該投小黨；若低於臨界值，你就該理性的支持大黨，才能獲得更高的期望回報。比方說，若小黨只有20%的通過機率，大黨有35%的得票率，此時除非你支持小黨的程度是支持大黨的3.6倍，否則你就該投大黨。反之，如果小黨通過率到50%，只要你對小黨有1.3倍以上的支持，就該投給小黨。
最後，注意這邊我們假設每個人的單一決策，不會影響到最終的得票率與小黨是否過門檻。但事實上若大家都採用這麼理性的決策，得票率必然會有所改變，最終會再度影響每個人的決策。
本文轉載自聯合報教育版「閱讀數學」專欄，更多好文請上「數感實
