文╱洪介興
●問問你╱黃金分割是什麼 黃金比例是多少
給你一條繩子，請你把它分割為長短不同的兩段，目標是要讓這兩段繩長的倍率關係，恰好等於較長一段的繩長和原本長度間的倍率關係，這件事有可能辦得到嗎？
這裡我們需要考慮兩個倍率，第一個是切開的兩段繩子中，長段長除以短段長的倍率。如果切開的位置越靠近中央，這個倍率就會越接近1，最小不會低於1；而如果切得越靠邊，這個倍率就會越大，甚至可以無止境地大。長段長與此倍率間的關係如圖一所示。
第二個要考慮的是全長除以長段長的倍率。如果切開的位置越靠近中央，這個倍率就越接近2，最多不會超過2；而如果切得越靠邊，這個倍率就會越小，最小不會低於1。長段長與此倍率間的關係如圖二所示。
將兩個倍率放在同一個關係圖中（見圖三），看起來應該會有一個恰恰好的分割方式，可以讓兩個倍率剛好相等。事實上，這個「不多不少剛剛好」的美麗分割方式確實存在，它有個厲害的名字，叫做「黃金分割」，而黃金分割所得到的倍率就稱為「黃金分割率」，亦常作「黃金比例」，其值為1.61803……，小數部分無窮無盡且沒有循環規律，一般以希臘字母「φ」（讀作ㄈㄞˋ）表示之。
●有意思╱黃金切割黃金矩 黃金螺線就會成形
用剛才我們作黃金分割的繩子全長，以及分割後的長段，當作矩形的長、寬，會形成一個長寬比正好是黃金比例的矩形；或是用分割後的長段和短段，當作矩形的長、寬，也會得到長寬比正好是黃金比例的矩形。像這樣長寬比符合黃金比例的矩形，就稱為「黃金矩形」。
把上面兩個黃金矩形對齊重疊在一起，就會看到一個很厲害的性質：把黃金矩形剪去以自身短邊為邊長的正方形後，剩餘的部分仍然會是一個黃金矩形。這是因為剪去以短邊為邊長正方形的這個動作，恰好就是對原矩形的長邊進行黃金分割。且更有趣的是，這個動作可以不限次數地一直進行下去。
不斷進行上述的切割，並在每個正方形內畫上一條四分之一圓弧，會形成一條等角螺線，而像這種以黃金比例作為增長因子的等角螺線，稱為黃金螺線，自然界中小至鸚鵡螺，大至颱風、甚至銀河，都可以看到它的蹤影。
●告訴你╱正五邊形很特別 對角線多黃金比例
正五邊形有著非常特異的性質，除了對角線和邊長的比值正好是黃金比例外，當我們把五條對角線都畫出來後，會出現更多的黃金比例，事實上，圖中每條線段的長度，都能找得到其他長度與其形成黃金比例。
圖中可以找到許多大大小小不同的兩種等腰三角形，其中一種是3個內角度數36度、72度、72度的銳角三角形，另一種則是36度、36度、108度的鈍角三角形。這兩種三角形都叫做黃金三角形，原因是它們長短兩種邊長的比值都是黃金比例。更有趣的是，從圖中還可以發現，一個銳角的黃金三角形和一個鈍角的黃金三角形，竟然可以合併成一個更大的黃金三角形！
●再問你╱棋子路過10格 會有幾種路徑
下圖中有10個格子，最左邊的第1個格子中有一個棋子，讓這個棋子順著箭頭移動，當有兩條路的時候，可以任意選擇其中一條路前進，一直走到最右邊的第10個格子，總共會有幾種不同的路徑？
試著把走到該格的路徑數填在每一個格子裡，第1格先填1；走到第2格顯然只有1種路徑，所以也填1；走到第3格有2種方法，所以填入2；走到第4格有3種方法，所以填入3，你可以驗證看看前面的敘述是否正確。
到了第5格，就不要一條一條路徑慢慢試了，可以直接把第4格和第3格內的數字3和2相加，將5填入第5格內。這是因為走到第5格的路徑可區分成兩類：一類是從第4格走過來，因為走到第4格有3種路徑，所以從第4格進入第5格的路徑就是3種；而另一類是跳過第4格，從第3格直接一步抵達，因為走到第3格有2種路徑，所以從第3格直接進入第5格的路徑就是2種；因此，走到第5格的路徑數就是這兩類的總和，也就是5種。
根據同樣的道理，可知道抵達第6格的路徑數，就是到第5格和到第4格的路徑數總和，也就是8；抵達第7格的路徑數就是8＋5，也就是13；而第8格是21、第9格是34、第10格就是55。
●看原理╱何謂「費氏數列」 每個數是前兩數總和
前兩個數是1，接下來的每一個數是前兩個數的總和，依此規則形成的數列叫做「費波那契數列」，簡稱費氏數列，這個數列的前幾項為：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610……，可一直不斷地延伸下去。
費氏數列是以13世紀的義大利數學家，比薩的李奧納多（Leonardo Pisano Bigollo）的外號「費波那契」為名。此數列其實是由印度數學家所發明，費波那契對其進行研究，並使歐洲人知曉。費波那契最大的貢獻是把印度阿拉伯數字引入歐洲，對西方的科學產生了深遠的影響。
費波那契數列的生成方式很簡單，卻蘊含豐富的有趣性質。舉例而言，數列中每一項的平方，都和相鄰兩項的乘積相差1，譬如52和3×8相差1、82也和5×13相差1，讀者不妨多找幾個數驗證看看，更能感受其奧妙。另外，在648期介紹過的帕斯卡三角中，也能找到費氏數列的蹤跡，是否相當神奇呢？
●很神奇╱螺旋結構的植物 常常出現「費氏數」
你心中是否有個疑問，為什麼黃金比例講著講著，會突然跳到費氏數列呢？這是因為費氏數列有一個非常美麗的重要性質：相鄰兩項的比值會趨近於黃金比例（見表一）！也因此，費氏數列又有「黃金數列」之稱。
費氏數列中的數稱為「費氏數」，正如同黃金比例一般，費氏數也常在大自然中出現，尤其是在有螺旋結構的植物上，像是花瓣多為5瓣，在松果和鳳梨上可看到8或13股螺線，而在向日葵上可看到21、34、甚至55股螺線，令人不得不折服於大自然造物之奇！
原文出自《好讀周報》650期
