文╱洪介興
●說緣起╱較大的數怎處理 進位系統來幫忙
我們都知道0的下一個整數是1，1的下一個整數是2，接下來是3、4、5、6、7、8、9，但再下一個整數就沒有它自己獨有的符號了，而是由1和0組合而成的「10」。
為什麼不繼續發明獨立的新符號來代表下一個整數呢？這是因為一來，我們無法記住太多符號；二來，整數可以無窮地延伸，不可能無止盡地發明新符號。因此，若想處理較大的數，進位系統就是必要的存在。
有人可能會想到：如果接下來要發明的新符號都用舊符號進行組合，這樣就不會增加記憶負擔，而且只要組合的規則制定得宜，應該可以無限地延伸，雖然可能會筆劃很多、寫得很擠，但至少是有辦法的啊！
如果能想到這一層，表示你的數學造詣頗高；但其實任何用舊符號進行組合的方法，仍然都是一種進位系統，只是用了不同的呈現方式來表達出進位的效果而已。
●想想看╱合理的進位制度 最小規定幾進位
我們生活中所使用的進位系統是十進位制，在這個制度下，「十」這個數沒有自身獨有的符號，而是用左邊一位的「1」來表現；那麼，我們有沒有可能創造更多獨立的數字符號，這樣就能碰到更大的數字再進位；或是不要使用這麼多的數字符號，在還不到十的時候就進位呢？
我們現在試著用「A」表示9的下一個數，它等同於十進位下的10；再用「B」表示A的下一個數，它等同於十進位下的11；接下來的四個數是「C」、「D」、「E」、「F」，分別等同於十進位下的12、13、14、15；新符號到此為止，「F」的下一個數就進位用「10」表示，這個數相當於十進位下的16。
在這個進位制度下，「十六」這個數沒有自身獨有的符號，而是用左邊一位的「1」來表現，由於這個進位法是逢十六進位，故稱為十六進位制。順帶一提，十六進位制下的「10」要讀做「一零」比較合適，避免與十進位制的「十」混淆。
使用上述的十六進位制，進行數數的時候就會像圖一。
如果甲、乙兩人用同樣的時間間隔，同時從0開始進行數數，但甲用的是十六進位制，而乙用的則是十進位制。那麼當甲數到「100」的同時，乙會數到「256」。也就是說，十六進位下的100，和十進位下的256，表象雖不同，但本質上指的其實是同一個數。
看完十六進位制的例子，你應該不難想像其他像是十二進位、八進位、五進位等不同進位制了吧，譬如用五進位制來數數就是：0、1、2、3、4、10、11、12、13、14、20、21……。接著考考你，一個合理的進位制度，最小可以規定成幾進位呢？
●考考你╱十進位制的250 二進位需幾位數？
有想法了嗎？現在公布解答—進位法最小可以規定到二進位，用二進位制數數就是：0、1、10、11、100、101、110、111、1000、1001、1010、1011、1100、1101、1110、1111、10000、……。由上觀察可知，二進位下的「10000」等同於十進位下的16。
在二進位下要用到5位數才能表達十進位下的16，感覺似乎很沒效率，現在請你猜猜看，若使用二進位制，要表達出十進位制的250需要多少位數？又，要表達出十進位制的60000需要多少位數？
在深入探討這個問題之前，且讓我們先跳到中國古代流傳下來的易經，看看二進位法是怎麼體現在易學中的。
●看易經╱八卦＝3個爻的組合 64卦＝6個爻的組合
《周易．繫辭》中記載道：「易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。」其中兩儀是「陽儀」與「陰儀」；陽儀再多加一次陰陽屬性，便可分得「太陽」、「少陰」，而陰儀則可分得「少陽」、「太陰」，此為四象；而四象又可各自再多加一次陰陽屬性，分得「乾、兌、離、震、巽、坎、艮、坤」等八卦；最後再將兩個八卦上下相疊，便可得到六十四卦。
讓我們來分析一下八卦和六十四卦的數學結構：八卦的每一卦都是由3個爻所構成，每個爻都是陽爻或陰爻兩者的其中一種，因此共有2×2×2，也就是23，即8種可能的組合，所以八卦其實就是3個爻的所有可能組合；而六十四卦的每一卦則是由6個爻所構成，因此共有26，即64種可能的組合，所以六十四卦就是6個爻的所有可能組合。
●看應用╱資訊運算靠二進位 磁碟讀寫也二進位
現在讓我們回到二進位制的討論，你是否有發現：剛才對八卦和六十四卦所進行的數學分析，完全可以類比到二進位制的探討呢？
因為每一個位數都是0和1兩種可能，所以8位數會有28，即256種組合，可對應到十進位下的0至255；而16位數會有216，即65536種組合，可對應到十進位制下的0至65535。現在我們可以回答之前的問題了：在二進位下，用8位數可表達出十進位的250（即11111010），而十進位的60000則需要16位數（即1110101001100000）。
在現今這個數位時代中，二進位法其實正無時無刻地服務我們，因為所有的資訊裝置幾乎都是靠二進位法運作的。你可能會好奇：為什麼資訊設備都要倚賴二進位法呢？在回答這個問題之前，請你先試著想想看：要怎麼用電線傳輸一個數，甚至一個中文字呢？
方法是先把待傳輸的資料轉成二進位，然後用高電壓表示1、低電壓表示0，接收端就可以從電壓的訊號讀出二進位的訊息，最後再轉換回原本的資料即可。其實不光是傳輸，磁碟也是利用磁的二極性來記錄二進位的資料。至於運算，不論是加法還是乘法，二進位的運算表都非常簡潔，如此便能用電子電路的邏輯元件輕易表達。
●告訴你╱中文 2Bytes進行存取 圖片 3Bytes表三原色
十進位制的數可轉成用二進位制表示，這還不難理解，然而，文字、甚至圖片要怎麼用二進位的數表示呢？
首先我們要認識bit（位元）和Byte（位元組），每一個0或1稱為一個bit，而8個一組的位元稱為一個Byte；單一個Byte可以儲存256種不同的資料，而2個Bytes則有65536種不同的變化。中文字就是用2個Bytes進行存取的，譬如「數」這個字，電腦會把它記錄成「01100101 01111000」。
至於圖片，以一張高畫質（HD）的照片為例，畫面會是由1080行乘以720列的小小方格（像素）所構成，每一個方格用3個Bytes記錄其顏色，這3個Bytes分別記錄光的三原色──紅光、綠光、藍光的強度，在一些可選擇顏色的電腦程式中（如：小畫家、Word），你只要選擇「自訂色彩」，就可以試著調整紅、藍、綠的數值（0～255），看看調出來的顏色如何，相當有趣喔！
根據前一段的說明，我們可以計算出一張HD的照片，是由1080×720×3×8，也就是大約2千萬個0或1所構成。單純的0或1竟然可以表現出電腦中這麼多彩的內容，是不是很不可思議呢？
●作者為教育部適性教學計畫「數學建築活動」教案設計人，任教北市石牌國中
原文出自《好讀周報》646期
