文╱洪介興
●考考你╱想從對手搶顧客 是否應該買廣告
蟹老闆跟皮老闆各經營了一間海底餐廳，蟹老闆因為擁有美味蟹堡的祕方，所經營的蟹堡王餐廳一直是生意興隆，而皮老闆的海之霸餐廳卻總是乏人問津。
經過許久努力，皮老闆終於從蟹堡王餐廳的員工派大星身上騙到了美味蟹堡的祕方，自此以後，皮老闆也有了跟蟹老闆均分市場的實力，這兩家餐廳每個月各有10萬元的利潤。
在這個競爭激烈的時刻，雙方都盤算是否要增加每個月3萬元的廣告支出以爭搶顧客，根據市場評估報告指出，購買廣告將使對方每個月減少8萬元的利潤，而自己則可增加每個月5萬元的利潤（扣除3萬元的廣告成本），雙方買不買廣告，會形成四種不同的狀況，每種狀況的利潤如圖一所示。
請仔細想想，如果你是奸詐的皮老闆，要不要買廣告？
●告訴你╱追求利潤最大化 決定是否買廣告
從圖一中可以很明顯地看出，雙方都不買廣告是對整體最有利的結果，但這不表示皮老闆就不會買廣告。因為當他在選擇時，不需要考慮蟹老闆的利潤，只要想辦法極大化自己的利潤就好。由於對方（蟹老闆）有不買廣告或買廣告兩種選擇，所以皮老闆應該把這兩種可能的情形都考慮過：
①如果蟹老闆不買廣告：若皮老闆不買廣告，利潤是每個月10萬元，買廣告則是每個月15萬元，因此買廣告比較有利。
②如果蟹老闆買廣告：若皮老闆不買廣告，利潤是每個月2萬元，買廣告則是每個月7萬元，因此仍是買廣告較為有利。
從圖二分析可知，不論蟹老闆買不買廣告，皮老闆都是買廣告比較有利，因此皮老闆的最佳策略就是買廣告。不幸的是，蟹老闆也會進行相同的考量，從而做出相同的決定，最終就是雙方都會買廣告。
身為局外人，我們當然知道與其雙方都買廣告，倒不如雙方都不要買廣告還更加有利。但皮老闆和蟹老闆為了追求自身利潤的極大化，反而必將走向這個對雙方都不利的結果。
●看原理╱擬策略求最大利益 賽局理論運用廣泛
如同剛才的例子，在一個既定的遊戲規則中，每位玩家為了讓利益最大化，各自擬定策略，對這類問題進行分析的研究領域稱為「賽局理論」（Game theory）。
皮老闆與蟹老闆的賽局，可以說是賽局理論中最簡單的入門例子，實際上賽局理論的變化非常多，運用層面也非常廣，舉凡在經濟學、社會學、心理學、演化生物學、計算機科學，都有很豐富的應用。
提到賽局理論，不得不介紹一位偉大的數學家—約翰．富比士．納許（John Forbes Nash Jr, 1928～2015），他在1950年提出關於均衡理論的博士論文，為賽局理論帶來突破性的發展，這個概念後來被稱為「納許均衡」，為他贏得了1994年的諾貝爾經濟學獎。（註：納許均衡是指一個賽局中，任何玩家都無法再透過改變策略以提升效益的策略組合，譬如在皮老闆與蟹老闆的賽局中，「雙方都買廣告」就是一個納許均衡。）
約翰．納許可說是一位極具傳奇性的人物，在他的研究能量處於顛峰之際，卻被診斷出思覺失調症。然而，長年受精神疾患所苦的納許沒有被擊潰，十多年後竟然重返學術圈！他這麼說：「我的天才與我的精神分裂症，都是同一個地方跑出來的。」
約翰．納許的傳記《美麗境界》（A Beautiful Mind）1998年出版，2001年被翻拍成同名電影，還獲得奧斯卡最佳影片等4項大獎，喜歡看電影的讀者可不能錯過！但要提醒，為了劇情效果，電影改編不少，若想多認識這位傳奇人物，還是要從原著下手。
●再問你╱付出5分回饋1分 打不打掃怎抉擇
任何一個玩家間的決策會造成利益相互牽動的情境，只要做出數學模型，就能夠進行賽局的分析，讓我們來看以下這個例子。
大家都喜歡乾淨舒適的環境，那就勢必要有人付出心力打掃，接下來為了討論方便，我們把享受美好環境的舒適程度，和付出心力打掃的勞累程度都量化成分數，且這些分數都可相互加總。
假如班上有25位同學，每個人都要決定自己是否要認真進行打掃工作，選擇認真打掃要付出5分的勞累，但班上每個人（包括自己）都會因為環境變好而增加1分的舒適；選擇不要認真打掃則不會增加任何勞累，而全體的舒適度也不會有所增減。
對整個班級而言，任何一個同學選擇認真打掃，會為全班帶來25分的總效益，而他只要付出5分，如此看來，每個人都選擇認真打掃，會是對全班最有利的結果，最終每個人都能得到20分的好處。
然而，對個人而言，不論其他同學有沒有認真打掃，自己認真打掃只能為自己多獲得1分的效益，但付出卻是5分，總計損失了4分，所以不要認真打掃，自身效益不增不減還比較好，這個賽局的均衡狀態就是每位同學都選擇不要認真打掃，最終每個人都無法得到任何好處。
●添誘因╱付出5分給10分 認真打掃效益高
要突破這個困境，最簡單的辦法就是加入獎懲機制，譬如給每個認真打掃的同學獎勵，讓他得到10分的好處，如此一來，認真打掃對個人而言總共有11分的好處，而付出只有5分，比不要認真打掃多出了6分的效益；又或者是，給予選擇不要認真打掃的同學懲罰，讓他受到10分的損失，如此一來，認真打掃的效益（負4分）就會比不要認真打掃的效益（負10分）還高，以上兩種方法都會讓認真打掃變成較佳選擇。
相較於外在的獎懲，另一種方法是訴諸內在，像是責任感、榮譽心或是大愛等，這些更為高尚的情操。一個責任感強的人，在享受別人的付出所帶來的好處時，會認為自己也應該為群體付出相對應的努力，選擇不要認真打掃會讓他遭受良心的譴責；一個富榮譽心的人，會以認真完成工作為榮、以能為群體作出貢獻為榮，選擇認真打掃會給他帶來精神上的滿足；而一個具有大愛的人，會因他人的快樂而樂、因他人的痛苦而苦，認真打掃讓全班每個人都得到1分的效益，他的內心自然是更加地喜樂。
●要記住╱在意群體的利益 利己之外更利他
人類當然是自私的動物，萬物皆然，無一例外，然而「自私」不代表「自利」，這兩個詞必須區分明白。
當我們幫助他人、或是為群體盡一份心力，看到他人或是群體因為自己的付出而變得更好時，內心的富足和喜悅是不可言喻的。你當然可以說這些行為都是出於私心，是為了想要得到滿足感和成就感才做的，但這種的「自私」對社會群體是有利的，和「自利」截然不同。
如果每個人都只在意自身的利益，這個群體必定走向滅亡，所幸絕大多數的人都會在意群體的利益，都有責任感、有榮譽心、有大愛，都願意付出自己的一小份心力讓社會變得更好，除了利己、更能利他，甚至把群體的利益放在自己前面，這正是人性的高貴與美麗，也是真正能推進人類文明的動力。
看完這篇文章，我們對賽局理論有了最初步的認識，又多知道了一位偉大的數學家，更重要的是我們還瞭解到，不論是為了自己還是為了他人，掃除時間一定要認真打掃喔！
●作者為教育部適性教學計畫「數學建築活動」教案設計人，任教北市石牌國中
原文出自《好讀周報》644期
