賴以威（數感實驗室）
隨著疫情越來越嚴峻，許多活動紛紛暫停。到底辦理大型活動對疫情有怎樣的影響，大家都能感受到「嗯，應該不太妙吧」，但究竟是怎樣的狀況，好像也沒辦法很清楚的說出來。其實，這是可以運用二項式展開，很快的估算。讓我們一起來試試看吧！
首先，假設全台灣尚有b人感染肺炎未被查出來(註)，則每一位台灣人生病的機率是b/2300萬，沒生病的機率是(1-b/2300萬)
以20萬人參與的大型活動，20萬人都沒生病的機率是
(1-b/2300萬)的20萬次方。
所以在這次活動中，至少有一位患者的機率就是用1去扣掉(耳邊響起高中數學老師的聲音)
1-(1-b/2300萬)的20萬次方
用excel或工程計算機就可以算出來。
但不是每個人隨時手邊都有excel，作為一個現代公民，隨時估算的數感能力很重要。因此，你可以用二項式展開，簡單來說就是
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab3+b3
只是我們現在的次方項是20萬！看起來很大，但你會發現，
(1-b/2300萬)20萬=1-20萬×b/2300萬-k×(b /2300萬)2….
當(b/2300萬)夠小時，只要展開到一次項就可以，後面都能忽略，所以就會近似於
(1-b/2300萬)^20萬≈1-20萬×b/2300萬
再用1去扣，就會得
1-(1-b/2300萬)^20萬≈20萬×b /2300萬
任何一場活動，你只要把20萬改成該活動參與人數，掐指就能算出來。
然而，當b越來越大，潛在患者數目越來越多時，一次式展開就會變得不準，得考慮到更多項。付出的代價就是變得難算。隨著考慮二項式展開的越多項，就會越難算，但越精準。
以前在學各種近似、展開的時候，有些人可能會覺得幹嘛要這麼麻煩，硬算不是就好了嗎？的確有電腦的幫忙，很多問題可以直接計算。可是，這些數學技巧在很多時候，能比電腦更快速、貼心的幫助我們思考，認清狀況、做出正確的判斷。
本文轉載自聯合報教育版「閱讀數學」專欄，更多好文請上「數感實
