撰文╱博格申、翻譯╱畢馨云
貧富差距正以驚人的速度逐步擴大，不僅美國如此，這個現象也發生在俄羅斯、印度、巴西等國情各異的國家。物理學家和數學家（包括我在美國塔弗茲大學的團隊）發展出來的一套研究方法指出，這些根源近在眼前，就隱藏在算術的某個著名古怪之處背後。
這套方法所用的財富分配模型統稱為「個體為本模型」（agent-based model），一開始是兩個個體或行為人之間的個別交易，兩人都設法讓自己的財務達到最好的狀況。在現代社會中，兩人決定交易、談好價錢，最後握手成交，看起來理所當然且再公平不過。的確，把看似穩定的經濟體系歸功於個別行為人之間的供需平衡，一般認為是啟蒙思想的頂峰，然而根據個體之間自願進行交易的行為所做出的簡單數學模型，卻顯示我們應該認真檢討這個看法。
具體來說，仿射財富模型（affine wealth model，以該模型的數學性質命名）可精確描述開發程度不同的國家裡家戶財富分配的情況，同時呈現財富傾向於集中的微妙不對稱性。我們認為，這套只使用分析的方法能讓我們深入了解當今世界上貧窮加劇和貧富差距擴大的原因。
2002年，當時任職於印度加爾各答薩哈核物理研究所的加卡波狄提出了舊貨拍賣模型（yard sale model，名稱來自它具有某些現實中一對一經濟交易的特徵）並採用數值模擬，證明這種模型必然會使財富集中，導致少數人握有多數財富，也就是所謂的寡頭壟斷。
假設你人在賭場下注，賭注是100美元，規則是擲一枚均勻的硬幣，如果擲出正面，賭場會付你賭注金額的20%，桌面上的賭注金額變成120元；如果擲出反面，賭場會拿走賭注金額的17%，桌面上就剩下83元。想賭幾個回合都行（不加注或減注）。你應該加入這個賭局嗎？
你或許會想：「我贏得20元的機率是1/2，損失17元的機率是1/2，所以期望獲利是：
(+20元)X 1/2 +(-17元)X 1/2 =1.50元
這是正值。換句話說，我的輸贏機會相等，不過獲利大於損失。」從這個角度看，加入賭局似乎是有利的。
「要是我賭十個回合呢？很可能是十次當中有五次擲出正面，其餘五次反面。每出現一次正面，我的賭注就會乘上1.2，出現反面則乘上0.83。經過五輸五贏後，不論輸贏順序為何，留在桌面上的賭注金額會變成：
100元X1.2X1.2X1.2X1.2X1.2X0.83
X0.83X0.83X0.83 = 98.02元
因此原先的100元賭注會損失2元左右。」再多計算一下，你就能確定大約需要贏93次，才可補償91次損失。從這個角度看，加入賭局似乎是不利的。
為了把賭場的隱喻延伸到（極其簡化的）經濟制度中的財富流動情形，我們來想像一個由1000人構成、兩兩彼此交易的系統。一開始讓每個人都有些初始財富，金額可能完全均等。接著依序隨機選出兩個個體進行交易，讓這1000人執行數百萬甚至數十億次交易，再來看看最後的財富分配情況。
兩個個體之間的單次交易是什麼情形？假設可輸贏的金額Δw只佔比較貧窮一方（我們叫她「莎娜」）財富的一小部份，如此一來，即使莎娜在與對方（我們叫他「艾瑞克」）的交易中有所損失，損失金額也永遠少於自己的總財富。假設莎娜獲利時，Δw是她財富w的20%，若有損失則是w的－17%。我們以一枚均勻硬幣決定Δw的流動方向：如果擲出正面，莎娜就從艾瑞克那兒取得她財富的20%；擲出反面，她就得把17%的財富交給艾瑞克。經過大量交易後，有一個個體最後會成為「寡頭」，握有此經濟系統中幾乎所有的財富，其餘999人到最後幾乎一無所有。財富排在越底層，減少得越快。物理學家把這種現象形容為「對稱破缺」。一旦財富出現差距，無論多小，隨後的交易就會有系統地讓財富「涓流」，從較貧窮的個體往上轉移到較富有的個體手中，讓貧富差距擴大，直到系統達到寡頭壟斷的狀態為止。（摘錄）
窮者越窮
舊貨拍賣模型是印度物理學家加卡波狄發展出來的簡單數學模型：假設在經濟交易中，財富會從「犯錯」的人流向另一個人。如果你為某樣物品付的錢恰好等於它的價值，就沒有財富轉移，但如果其中一方多付了錢，或是另一方接受的金額少於物品的價值，就會產生財富轉移。由於沒有人想要破產，因此加卡波狄假設轉移金額只佔較貧窮者財富的一部份。他發現，即使每次交易的結果都由擲均勻的硬幣來決定，像這樣的買賣最終仍會導致所有財富落入一人之手，並造成極端的貧富差距。
本文取自《科學人》雜誌2020年3月號，更多的內容歡迎閱讀《科學人》雜誌。相關訊息網址：http://sa.ylib.com
