如果有一天，你的帳戶裡突然多了10萬元，買股票？買手機？你會怎麼用？ 談到理財投資，很多人第一個想到的就是：「哪一支會漲？」 但阿亮老師覺得，比「猜漲跌」更重要的，其實是另一個問題：錢要怎麼分配？ 今天我們就用國中學過的座標、平均數和不等式，來做一次「數學建模」， 把生活裡的問題翻成數學式，再一步一步算出答案。
文／曾慶良（阿亮老師）
● 投資風險怎判定 分群演算當幫手
市場上的投資商品成千上萬，第一步得先把它們分分類。假設小亮手上有9種投資商品的資料（以下皆為教學用的假設數字），我們只看兩個特徵：一個是「風險」，也就是價格一年內上下起伏的幅度；另一個是「平均報酬」，也就是平均一年大約賺多少。
把「風險」當作橫軸x、「平均報酬」當作縱軸y，每一種商品就變成座標平面上的一個點。接下來，我們借用AI很常用的一招：K-means 分群演算法（K-means Clustering）。K 代表要分成幾群，這裡我們想分成 3 群，所以 K=3。做法只有三步，用到的都是國中數學。
我們先隨便挑甲、丁、戊三個點當臨時中心。第一回合分組時，戊本身就是中心，所以留在第三群，和庚、辛、壬分在一起。分好之後重算中心，例如第三群的中心是：
x= (14 + 4 + 5 + 3) ÷ 4 = 6.5，
y= (7 + 3 + 2 + 3) ÷ 4 = 3.75。
每一回合的結果整理如下：
咦？第二回合時，戊竟然「換班」了！為什麼呢？我們用畢氏定理實際算算看，戊（14, 7）到兩個新中心各有多遠。
第三回合再算一次，已經沒有任何點換組，分群就完成了：甲乙丙是「高風險、高報酬」，丁戊己是「中風險、中報酬」，庚辛壬是「低風險、低報酬」。我們沒有事先告訴電腦哪些是同一類，它只靠算距離、取平均，就把商品分成了三個「籃子」。
在真實世界裡，這三群大致對應到三種常見的投資工具：
① 股票（Stock）：公司賺錢，股價可能大漲；公司出狀況，也可能大跌。報酬高、風險也高，像是坐雲霄飛車。
② ETF（指數股票型基金，Exchange Traded Fund）：一次買進一籃子的股票，某一家跌了，其他家可能撐住，風險比單買一支股票小，像是坐摩天輪，有高有低但比較平穩。
③ 債券（Bond）：把錢借給政府或公司，約定時間拿回本金和利息。報酬低但比較穩定，像是搭捷運，不刺激，卻很少出意外。
只要投資商品的漲跌步調不完全一樣，分散開來就能讓風險起伏變小，這就是「不要把雞蛋放在同一個籃子」背後的數學道理。
● 設立變數訂條件 加權平均看報酬
數學建模的下一步是設變數。為了計算方便，我們以「萬元」為單位：股票投入 x 萬元、ETF 投入 y 萬元、債券投入 z 萬元。小亮和爸爸討論後，定下了幾條「家規」，這些就是限制條件（Constraints）：
第⑤條需要用到報酬率。假設在「景氣普通」的一年，股票賺8%、ETF賺6%、債券賺3%，那麼一年的獲利（萬元）就是0.08x＋0.06y ＋0.03z，要大於或等於5,000元（0.5萬元）。兩邊同乘以100，就變成比較好算的8x＋6y＋3z≥50。短短5行數學式，就把一家人的投資想法全部「翻譯」出來了！
小亮的方案在景氣普通時，整體報酬率是多少？很多同學會直接算(8%＋6%＋3%)÷3≈5.67%，但這是錯的！因為三個籃子放的錢不一樣多。正確的做法是加權平均（Weighted Average）：錢放得愈多的籃子，影響力愈大。
● 假設情境算風險 檢驗模型再修正
不過，景氣不會永遠「普通」。建模的下一步，是設定不同的情境（Scenario），看看方案在好日子和壞日子各有什麼表現。以下是假設的報酬率。
不景氣時，常有資金從股市轉往債券避險，所以債券反而可能小賺。我們拿四種方案來比一比（單位：元）。
觀察重點：
① 方案A：景氣好時最風光，但一遇到不景氣，10萬元瞬間少了四分之一，而且它違反了家規，根本不合格。
② 方案D：最安全，不景氣還能賺錢，但景氣普通時只賺3,000元，代入家規⑤：3×10=30<50，達不到目標。
③ 方案B、C：在哪一種情境都拿不到第一名，但也都不會太慘。
投資有點像考試，與其某一科考100分、另一科不及格，不如每一科都穩穩拿到80分。
看完表格，小亮的爸爸說：「不景氣時虧1萬多，我覺得太多了。我們再加一條家規：不景氣時，虧損不能超過1萬元。」這就是建模很重要的一步：檢驗與修正。把新家規寫成數學式。
修正案C在景氣好時少賺了900元，但在不景氣時少虧了1450元。少賺一點，換晚上睡得安穩，阿亮老師覺得很划算。
原文出自《好讀周報》895期
