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文／曾慶良（阿亮老師）

想像一下：每次小考後，老師都會拿出那本厚厚的成績冊，一筆筆寫上每個人的分數。在這樣的「中心化」做法裡，只有老師擁有完整資料。

可是如果有一天，老師的成績冊不見了，整班的成績是不是跟著消失？為了避免這樣的「資料消失危機」，有同學提出一個點子：「乾脆每排自己記錄成績吧！」

於是，每排都有一位排長負責登記全排的分數，等大家都核對好後，再由小老師彙整成全班版本交給老師，這樣一來，即使某一排的紀錄不小心遺失，其他排仍能提供副本來比對修正，這個做法就是「去中心化」的一種小縮影：不再由老師單方面掌控資料，而是讓每一位參與者都擁有一部分紀錄、共同維護整體的正確性。

你可以再想像它像是傳紙條：若是「中心化」傳遞，你把紙條交給班長，再由班長傳給全班；而「去中心化」傳遞則是你直接告訴幾位同學，再由他們繼續傳播。雖然路徑可能更複雜，但即使班長請假，消息仍能傳到每個人手上。所以中心化就像是「全班只靠班長轉達老師的通知」，去中心化則像「大家都在班級群組裡」，有人沒看到，其他人會提醒他。這樣的系統雖然看似複雜，但卻更穩、更公平，也更「民主」。

它讓資訊不再依賴單一來源，更能防止錯誤或遺失造成全面崩壞——這也是許多現代科技（像區塊鏈）背後的數學基礎。接下來，我們就從數學的角度，看看這樣的系統是怎麼維持「一致性」與「安全性」吧！

●分散式網路 多點連結防單點故障

有沒有玩過線上遊戲？如果伺服器突然掛掉、積分不見、角色退回昨天，那就是「中心化系統」的典型問題：所有資料都存在一個地方，只要中心出狀況，整個世界就當機。在數學上，我們可以想像這個中心是一個「節點（Node）」，所有資訊都須經過它、由它確認。這樣的好處是效率高、決策快；但壞處也明顯——只要這個節點出錯，全系統就像把雞蛋放在同一個籃子裡，一摔全沒。

那「去中心化」又是什麼？可以想成「大家一起當伺服器」。每個人手上都有一份資料副本，彼此連成網狀，這樣一來，就算有一兩個節點掛掉，其他人也能幫忙補上。這種結構稱為「分散式網路（Distributed Network）」，它讓節點之間互相連線，不再依賴唯一中心的資料，每個節點都是一個點（vertex），連線就是邊（edge）（這裡其實蘊含了數學中圖論（Graph Theory）的概念），當邊夠多、結構夠穩，就能避免「單點故障」。所以去中心化不只是技術，也是一種數學的思維方式——用多點連結取代單一依賴，用分散合作取代集中控制。

●雜湊值 資料指紋機 遭竄改 數值就不同

去中心化的核心，其實圍繞在兩個關鍵字上：正確性與信任。

在傳統的中心化系統裡，我們習慣「相信」一個權威：相信老師不會算錯成績、相信銀行不會記錯帳、相信系統會自動幫我們保存資料。這是一種「由上而下」的信任方式，一切交給中心節點決定。

但在去中心化的世界裡，信任不再來自單一個人或機構，而是來自群體共識。每個人都能參與驗證資料，當多數人都同意某個結果，這個結果就被視為正確。這就像數學裡的「多數決原理」或「機率信賴」：當多數樣本得出相同答案時，我們便能對整體結果有更高的信心。也因此，去中心化的信任是一種「由下而上」建立的信任——透過群體參與和驗證，形成穩定的共識。

不過光是「一起驗證」還不夠，還要能夠防止有人偷偷竄改資料。這時就需要數學界的「超級守門員」：雜湊函數（Hash Function）。它就像資料的「指紋機」：不論輸入多長、多複雜，都能透過公式算出一串固定長度的代碼。這串代碼，就是資料的「指紋」，我們稱為「雜湊值」。這個過程其實就是數學裡的「函數關係」：每一個輸入（Input）都對應到唯一的輸出（Output）。只要有人動過資料，雜湊值立刻就會不同，竄改行為無所遁形。

整個去中心化系統就靠這兩種數學思維運作：一是「多數人的一致」，確保結果值得信任；二是「函數的嚴謹對應」，保護資料不被改動。這樣的組合就像邏輯推理（Logical Reasoning）一樣，從一個個條件出發，經過嚴密的驗證，最終得出可信的結論。

●多點保存 不怕遺失 可以比對 不怕竄改

輸入什麼，它都會用一個公式幫你「壓縮」成一串固定的數字。而這串數字就像是資料的「指紋」，獨一無二。

【例題】班級成績的「指紋值」

假設有3位同學的數學小考分數如下：

小明：90分

小美：85分

阿亮：95分

老師想用一個簡單的「雜湊公式」來確認紀錄沒有被改動。因此我們先設計一個超簡化版「雜湊函數」：

f(x)=(各分數加總) mod 7

其中「mod」代表「取餘數」（就是除完之後剩下的數）

取值的步驟：

①把分數加總：90 + 85 + 95 = 270

②用公式取餘數：270 ÷ 7 = 38餘4

③所以「雜湊值」是4（我們將此數值存下之後比對）

現在如果有人偷偷改了分數呢？

假設小明從90改成91：

這新的加總 = 91 + 85 + 95 = 271

271 ÷ 7 = 38餘5

雜湊值立刻改變，就能馬上發現資料被動過！所以在去中心化的過程中，我們不僅不必擔心資料的遺失（因為資料存在許多人的手上），更不必擔心資料被竄改（可以利用雜湊值函數來加以比對）。

●共識機制 數學民主 多數同意 視作真相

即使每個人都有成績副本，還是可能有人抄錯。那該怎麼決定哪一份才是「真」的呢？這就要靠「共識機制」──用數學的方法找出大家都同意的答案。

【例題】班級投票找出正確成績

假設5位同學各自記下了「小明」的小考分數：

小華：88分

小美：88分

阿亮：87分

陳方：88分

葉問：89分

步驟：

①統計每個分數出現的次數→88出現3次、87出現1次、89出現1次。

②採用「多數決原則」→ 出現最多次的數值88，為共識結果。

③若分數差異太大（如出現70、99等離群值），可以再加上「誤差範圍±1」的判定機制（統計概念）。

這就是「數學式的民主」：多數同意的答案，被視為最可能的真相。這也正是區塊鏈中「共識機制」的原理，就是在不同的區塊鏈中，使用不同方式達成共識。

●區塊鏈 像數學接龍 每一項 有連鎖關係

區塊鏈說穿了就是「數學接龍」。每一塊資料都記得上一塊的「樣子」，這種連鎖關係其實就是數列遞推（Recurrence Sequence）的概念。

【例題】班級成績鏈

假設班級每次考試後都要記錄一個「成績值」，並把前一次的紀錄也一起加進去。我們設計一個簡單的公式：

an =(an-1+當次平均分數)mod10

第一周平均分數是82，我們取a1 =82mod10=2 （82除以10餘數為2）

解數學鏈步驟：

第二周平均85： a2 =(2+85)mod10=7

（第一周的值2加上本周成績平均85成為87，再除以10餘數為7）

第三周平均90：a3 =(7+90)mod10=7

（第二周的值7加上本周成績平均90成為97，再除以10餘數為7）

第四周平均88：a4 =(7+88)mod10=5

（第三周的值7加上本周成績平均88成為95，再除以10餘數為5）

所以目前的數學鏈是：2 → 7 → 7 → 5

因此，如果有人竄改了第二周的分數，整串鏈後面的結果都會變！這就是區塊鏈「前後相依」的數學結構：每一個區塊都像數列中的一項，而每一項都「記得」上一項，這樣的鏈條一旦被改動，就會像數學遞推式出錯一樣，整個系統無法對上，這樣就可以讓資料的「前後連貫」變成一種安全鎖。

●多人驗證 過程稍慢 運算龐大 耗電量高

去中心化之所以受到全球關注，是因為它讓系統變得更穩、更透明，也更「信得過」。在傳統的中心化架構裡，只要有一個「關鍵伺服器」出問題，整個網路就可能癱瘓；而在去中心化系統中，即使某台電腦離線，其他節點仍能維持運作，就像班上有人請假，其他同學依舊能完成分工的任務。這樣的架構，使得整個系統更穩定、更可靠。

同時，去中心化讓資訊變得更加公開透明。所有資料都能被任何人驗證，沒有誰能暗中偷偷修改數據或操控結果。再加上雜湊函數與共識機制的雙重保障，幾乎沒有造假的空間。這樣的機制讓人們第一次能在「沒有中央機構」的情況下，也能建立起彼此之間的信任。更棒的是，它還讓決策變得更民主——不再是由單一權威拍板，而是透過群體討論與投票，形成多數人共同認可的結論。

當然，任何系統都有代價。去中心化雖然公平，但速度卻不如中心化那樣迅速。因為每一筆資料都要經過多人驗證，整個過程自然會慢一些，就像班級開會時，要等大家都點頭才能通過決議。此外，一些去中心化系統需要龐大的運算能量來維持運作，耗電量甚至能比一個小國家還高。

要設計去中心化系統的操作也不算簡單。所以如果想要自己設計一條「鏈」來發行「加密貨幣」，需要一定的數學與程式基礎。然而，也正是這些挑戰，讓去中心化的世界不斷進步。全球有成千上萬的數學家、資料科學家與工程師正持續研究新的演算法與架構，試圖讓去中心化更快、更節能、更容易使用。可以說，去中心化的發展過程，本身就是一場「數學與邏輯信任的進化實驗」，在不斷試錯與修正中，朝著更自由、更公平的未來前進。

如果你未來也想要有自己的「加密貨幣」，那麼可以把握現在，學好中學和大學階段的數學，開發出屬於自己的「數學鏈」。

●作者為教育部高中數學學科中心研究教師、台北市3A教學基地中心主任，獲北市特殊優良教師