文／林秋華
近期，鬼滅之刃電影無限城的上映掀起一陣旋風，不只電影狂賣，各種周邊商品更是一搶而空。你有沒有曾經在便利商店、動漫店門口，看過那種一大張寫著「鬼滅之刃一番賞」的海報？上面擺滿了炫到不行的公仔、毛巾、吊飾，其中最吸引人的當然是「A賞」，通常是限量、超精緻的主角或名場面大公仔，放在櫥窗裡看起來好像在對你招手說：「帶我回家吧！」無形中吸引了許多動漫迷收藏。今天，我們試著用數學的角度來分析一番賞的抽獎機制吧。
●閱報秘書／一番賞 籤籤有獎
一番賞（Ichiban Kuji）是萬代南夢宮集團（BANDAI SPIRITS）的商品。該公司在2003年開始推出一番賞活動，並在2018年將一番賞業務轉到旗下公司BANDAI SPIRITS負責。一番賞其實就是一種抽籤遊戲，每抽一次需要花費290元至 390元不等，籤籤有獎，只是獎品等級不同。對顧客來說，最大的樂趣是「抽中自己想要的大獎」，也就是所謂的「一抽入魂」；對店家來說，最大的目標是「賣光全部的籤，回收成本並賺錢」。
●每一張籤 抽中率固定 籤數不同 左右中獎率
假設有一家動漫店進了一套鬼滅之刃一番賞。這一套共有80張籤（每個系列的籤數可能不同，這裡我們用一般80張來計算），獎項如下（獎項數量也可能視系列而不同，我們舉其中一個例子來說明）：
A賞 角色模型：1張
B賞 角色模型：2張
C賞 角色模型：2張
D賞 迷你角色模型：5張
E賞 毛巾：10張
F賞 杯墊：20張
G賞 軟膠吊飾：40張
合計共80張籤。
每次抽籤要台幣390元，你覺得值得嗎？一番賞的樂趣在於抽獎的不確定性，全新開賣的一番賞，80張籤的分布是固定的，也就是抽中「每張籤」的機率是一樣的，但每個獎項的籤數不同，因此每個獎項的中獎機率也不同。
雖然中大獎的機率不高，但抽中A、Ｂ、C賞的機率也不是零；而且對愛好者而言，公仔本身的收藏價值極高，若能抽中非常值得，這就是很多人願意嘗試的原因。
●390元抽一次 值得嗎 計算總期望 僅275元
抽籤前，每個人內心都有一個期望，在數學上，我們用「期望值」來量化這個期望，簡單來說，就是如果你可以抽無限多次，平均下來每次能獲得多少價值便稱之為「期望值」。期望值是長期平均，不是保證每次都會得到那個數字。如果你只玩一次，可能很幸運抽到A賞，也可能只拿到小賞。但如果你玩很多次，平均下來就會接近期望值。
現在假設各賞的獎項市值如下：
A賞：2500元
B賞：2000元
C賞：1500元
D賞：500元
E賞：300元
F賞：150元
G賞：100元
則期望值的計算方式為：
期望值=∑（獎項價值×該獎機率）
我們將數字代入右表計算：
總期望=
31.25+50+37.5+31.25+37.5+37.5+50=275
也就是說，最初，你花390元抽一次，平均獲得的價值只有275元！當然，這就是店家賺錢的關鍵，但店家一定賺錢嗎？
●為了把籤賣光光 最後賞吸住人氣
假設店家進貨一套一番賞的成本是：
80張×160元（批發價）= 12,800元。
若籤能「全部」賣掉，每張賣390元，就可收入：
80張×390元=31,200元，毛利大約是18,400元。
看起來很賺，對吧？但店家也會遇到「滯銷」的情況，例如：A賞、B賞、C賞、D賞都被抽走了，剩下的全是吊飾和杯墊，顧客花錢的誘因自然會下降，導致店家可能要祭出打折（例如200元一抽）才能賣完，或者改用其他行銷方式。所以說，店家往往希望大賞不要太快被抽走，才能維持顧客的興奮度。
從數學的眼光來看，每張籤被抽出的機率是相等的，所以第一張籤是小賞的機率比較高，同樣的，最後一張籤是小賞的機率也比較高，換句話說，店家希望所有籤都能賣出的機率其實並不高。因此，廠商又研發出「最後賞」的遊戲機制，也就是抽走最後一張籤的人，同時可以將「最後賞」帶走，為了維持顧客的抽籤興趣，目前最後賞的收藏價值通常最高。
●再抽一次就中 很誘惑 都抽那麼多了 難放棄
抽籤遊戲是一種籤會逐漸減少的「不放回抽樣」，因此機率是變動的。當第一個顧客抽走第一張籤並打開，第二個顧客抽籤的中獎機率便隨之改變，雖然籤的分布是隨機的，但對結果而言，當大賞被開出，後面的顧客就沒有機會中大獎了。因此有了配率的概念，「配率」這部分屬於主觀機率，也就是目前大數據分析的基礎：根據先前的行為，預測或分析後來的行為。雖然一番賞本質上是一種商業活動，但它其實融合了許多數學概念：
●機率（Probability）
●不放回抽樣（Without replacement）
●期望值（Expected value）
●策略與博弈（Game theory）
當你站在店門口，手握390元，心裡猶豫要不要抽的時候，其實，你正在做一個「機率決策」：
①變動比率強化（Variable Ratio Reinforcement）
這跟賭博是一樣的原理。抽獎是「隨機獎勵」，你不知道哪一次會中大獎，但你知道有可能會抽中。這種不確定性讓人很容易上癮，因為每一次抽都有希望中。想想，如果你知道「再抽一次就有可能抽到A賞」，是不是誘惑你更想再試一次？
②沉沒成本效應（Sunk Cost Fallacy）
當你已經花了很多錢，可能會抱持著「都已經花了那麼多，不如再抽一次看看」的念頭。這會讓人一直投入更多資源，即使你的理智上知道抽獎是隨機的，但內心卻會一直想：「我都抽5次了，總不能就這樣放棄！」
●期望值 只是長期趨勢 中籤率 會隨情境調整
數學上，我們常常談到「期望值」，它是一種用來描述「平均情況」的工具，就像你針對同一個遊戲玩上千次，最後得到的平均結果。這裡有一個重要的觀念：期望值不是預言，它不會告訴你下一次一定會中什麼，而是提供一個「長期趨勢」。換句話說，如果你今天只抽一次一番賞，結果可能跟計算完全不同；但如果你能玩上無數次，最後的平均值就會慢慢接近計算出的數字。
不過，一番賞跟一般的數學機率模型又有一點不一樣。通常我們在課堂上計算機率時，會假設每一次抽籤的機率固定不變。但在一番賞裡，每一張被抽走後，剩下的籤數就會改變，獎品的分布也跟著不同。舉個例子，如果大獎還沒出現，而剩下的籤只剩下20張，那麼中獎的機率就會比一開始高出許多。相反地，如果大獎早就被抽走，那麼再怎麼計算，期望值再高也毫無意義。這樣的「動態機率」讓一番賞成為一個很好的生活教材，提醒我們機率並不是死板的，而是會隨著情境調整。
當然，數學可以冷靜地告訴我們：大部分時候期望值其實偏低，也就是說玩家長期下來大多是「虧」的。但這裡卻出現了人性有趣的一面，即使知道數學告訴我們「不划算」，人們仍然會被那個可能存在的A賞到C賞誘惑。這其實也是數學和心理學的交會點：理性上的計算與感性上的期待，常常拉扯著我們的選擇。對學生來說，這不僅是一個算式上的問題，更是一種學習機會：去理解數學如何在現實生活中發揮作用，也去體會人類的行為並不總是完全符合數字的規律。
原文出自《好讀周報》839期
