數感實驗室/「賽制」單淘汰與循環賽的比較

數感實驗室/「賽制」單淘汰與循環賽的比較

賴以威(數感實驗室)

如果你有參加運動比賽,或至少看過幾種不同的運動賽事,你必然會發現「賽制」真是五花八門:單淘汰賽、雙淘汰賽、分組循環賽、敗部復活等等,還有一開始先小組循環賽,後來改打單淘汰的這種混合賽制。這些賽制各有優缺點,某些比較有效率,某些比較精彩,雖然有了運氣成分,但更讓比賽充滿魅力。今天,我們以8隻隊伍這樣的小規模比賽來舉例給大家看看,只討論單淘汰賽跟分組循環兩種賽制。

首先,我們以「參賽者需要打幾輪比賽」的角度來分析, 分組循環每一隊都要跟其他人比到,所以是7輪,單淘汰賽每次淘汰一半,8除以2=4,再除2=2,再除一次就比出冠軍,所以只要打三輪。

再來,我們站在主辦方的角度,來分析「全部要打幾場」。分組循環賽是C8取2,一共得打8乘7除以2=28場。你也可以想成是8隊,每隊要打7輪,所以是8乘7,但因為一輪有2隊在比,還要再除以2,得到28場。單淘汰賽呢?答案出乎意料的簡單,因為每一場淘汰一隊,所以要比8-1=7場,就能選出冠軍。你一樣可以用「輪」的概念來思考,第一輪打4場,第二輪打2場,第三輪打1場,剛好是一個公比1/2的等比級數,4+2+1=7場。

結論是,單淘汰賽對主辦方跟隊伍都比較輕鬆,不過有著不能輸的壓力,運氣的成份也比較大。畢竟假設有一組隊伍非常厲害,遇到其他7隊的勝率都是8成,但是它連續贏得三場獲得冠軍也只有0.8的三次方,約是0.512,只剩下比一半多一點點的機率。而且單淘汰賽只能分出一二名,所以有些時候我們才會看見在準決賽後,輸掉的隊伍還要再補打一場來分出三四名。相較之下,循環賽雖然比較能分個公平,卻得花上很多代價,球賽的刺激精彩成分也不如一翻兩瞪眼的單淘汰賽來得高。運動賽制,裡面還真多數學。


本文轉載自聯合報教育版「閱讀數學」專欄,更多好文請上「數感實驗室

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