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https://bit.ly/3kXfIM9文╱洪介興
●問問你╱圓周長與直徑比 圓周率怎算出來的
我們都知道圓周率是圓周長和直徑的比值、大約是3.14，也就是說任何圓的圓周長都是直徑的3倍多一些，但你有沒有深入想過，這個倍率是怎麼得到的呢？
圓周是彎曲的，難以跟直徑比較長度，因此先用多邊形來幫助我們進行探討或許會是個好辦法。
圖一是一個圓形和圓外接正四邊形，此正四邊形的邊長正好等於圓形的直徑長，所以正四邊形周長是圓形直徑長的4倍，圓周長顯然比正方形周長還短，可知圓周長明顯不到直徑的4倍。
圖二是一個圓形和它的圓內接正六邊形，正六邊形有個很厲害的性質，就是它恰好可以分割成6個完全相等的正三角形，因為這些三角形的邊長都等於圓形的半徑長，所以此正六邊形周長正好是圓形半徑長的6倍，也就是直徑長的3倍。再由觀察可知圓周長比正六邊形的周長略長，因此圓周長就是直徑長的3倍多一些，這張圖巧妙地驗證這個事實，是不是很漂亮呢？
●看歷史╱阿基米德最早計算 祖沖之推到小數七位
經過前面的分析，我們只能確定圓周率比3略大，但要如何得到更準確的數值呢？一個可能的方法就是實際測量，然而這麼做免不了會有不小的誤差。
在一塊西元前1900年至1600年的泥版上，揭示了古巴比倫人把25/8（也就是3.125）當作圓周率的證據，此數值很可能是經由實際測量、化約而來，相較於圓周率的真實數值，誤差大約是0.53%，如果用這個數值去計算直徑10公尺的圓周長，大約會低估16.6公分。這個誤差雖然不是非常大，但總是不讓人滿意，如果想得到精確的圓周率，還是必須用算的才行。
人類計算圓周率的歷史，最早可追溯到古希臘最偉大的科學家阿基米德（西元前287–212年），他一生所做的研究不計其數，在數學、物理學、工程學、天文學皆有極高成就，並和牛頓、高斯被合稱為史上三大數學家。阿基米德算出圓周率的值介於223/71和22/7之間（約為3.1408～3.1429），用這個範圍的數值當作圓周率最多只會有0.04%的誤差。
500年後，東方出現了另一位圓周率發展史上極具代表性的人物：三國時代魏國的數學家劉徽（約西元225–295年），他用了和阿基米德類似的方法，求出圓周率介於3.1410～3.1427之間。200年後後，南北朝劉宋的數學家祖沖之（西元429–500年），承襲了劉徽的算法，更是把圓周率的近似值準確求到前7位小數──3.1415926，這個數值只有億分之2不到的誤差，如果用這個數值去計算直徑10公尺的圓周長，誤差不超過萬分之1公分，也就是1微米，連一個細菌的大小都不到！
●看原理╱Ｎ邊形的Ｎ越大 圓周率誤差越小
你一定會想知道阿基米德跟劉徽是怎麼計算圓周率的，因為圓周率是圓周長和直徑長的比值，所以只要先任意決定直徑長（直接定為1最為方便），接著計算出這個圓的周長，然後將求出的圓周長除以直徑長就是圓周率了。但問題來了，圓周這種彎彎的線條，長度有辦法計算嗎？
我們前面有用過一個圓內接正六邊形的周長來跟圓周長做比較，發現圓周率比3大。阿基米德跟劉徽也是從這張圖出發，而接下來的動作，是往外畫出圓內接正12邊形，運用畢氏定理（直角三角形的三邊長之間的關係），計算出正12邊形的邊長，再乘以12，可得出此圓內接正12邊形的周長約為3.1058。
相較於圓內接正六邊形，圓內接正12邊形的周長顯然更接近圓周長。請你看著圖三，試著想像再往外畫出圓內接正24邊形、再往外畫出圓內接正48邊形、再往外畫出圓內接正96邊形……，當邊數細分到越多，得到的周長就會越接近圓周長，當邊數細分到非常非常多，得到的周長就會非常非常接近圓周長！
劉徽發明的割圓術，由祖沖之發揚光大，他由圓內接正六邊形的邊長求出正12邊形的邊長，再由正12邊形求出正24邊形的邊長；再由正24邊形求出正48邊形的邊長……，經過11輪的運算，得到圓內接正12288邊形的周長，進而將圓周率計算到小數第7位。
祖沖之所締造的紀錄高懸了近千年，才在西元1424年被波斯數學家卡西打破，他用割圓術算出圓內接正6×227邊形的周長，將圓周率推進到小數第16位；而割圓術最終的紀錄停留在1630年，由奧地利天文學家格林伯格將圓周率求到小數第38位。
●看發展╱無窮級數當解方 取項越多越準確
隨著17世紀微積分的蓬勃發展，數學家們開始找到許多可以表現圓周率的無窮級數，所謂無窮級數就是有無窮多項相加的算式，下面附上兩個例子。
你應該會感到驚訝，何以看起來如此簡單，且跟圓形看不出半點關係的算式，竟然能求出圓周率，實在太不可思議！
在這些圓周率的無窮級數中，只要往後面加上越多項，得到的圓周率就越準確，但是這兩個級數誤差變小的速度都太慢了，若要更加提升圓周率的計算速度，就要找到收斂速度更快的級數。
今年8月，瑞士格勞賓登應用科技大學的研究團隊宣布，他們花了108天的時間，用超級電腦將圓周率計算到小數62.8兆位，將圓周率計算的世界紀錄再度向前推進。該團隊所使用的計算方法，是由楚德諾夫斯基兄弟於1987年所提出的公式，這個級數收斂的速度極快，每多加上一項就可以多得到大約14位小數，效率高得非常驚人！
●問題1╱能否破解圓周率 目前來說不可能
圓周率有幾位小數？我們會有算出圓周率的一天嗎？很可惜地，以目前人類所知的數學知識看來，答案是不會。
1761年，瑞士數學家朗伯已經證明了圓周率不是有理數，也就是說圓周率無法表示成分子、分母皆為整數的分數，當然也就不會是有限位數的小數了，圓周率若以小數表示，將會是無限多位，而且不會循環的小數。
圓周率不會循環，但是否可能有其他規律呢？雖然不排除這樣的可能性，但目前普遍認為圓周率是完全無法預測、完全沒有規律的，如果某天竟有人能從圓周率中發現某些規律，那肯定會震驚全世界。
●問題2╱如何寫進算式 數學家用π表示
小數和分數都無法確切地表現出圓周率，那麼問題來了，如果我們要把圓周率寫在算式中該怎麼辦呢？
從1647年起，開始有些數學家使用希臘字母「π」（讀做pi）表示圓周長或圓周率，但直到瑞士的大數學家歐拉，在他1736年出版的書中用π表示圓周率起，此用法才開始快速地流傳開來。
這邊順道提供一個π的實際運用案例：如果一個圓形的直徑長是10公尺，那麼圓周長就是10π公尺，而31.4公尺只是近似值，並非實際值。
最後、也是最重要的事，由於π的值約為3.1415926，所以我們可以在3月14日（圓周率節）的15點9分26秒吃一口美味的派，品嘗「π」的美好！
作者為教育部適性教學計畫「數學建築活動」教案設計人，任教北市石牌國中
原文出自《好讀周報》640期
