文／林秋華
桌上遊戲（Board Games）歷史悠久，早在古埃及就有「賽尼特」、中國有「圍棋」、印度有「象棋」等經典遊戲。但現代意義上的「桌遊熱潮」，大約在1990年代由德國開始興起，被稱為「德式桌遊風潮」。
德式桌遊強調：
●策略性：不像傳統遊戲靠運氣（例如擲骰子），而是強調規劃與決策。
●互動性：遊戲時間通常30分鐘到90分鐘，適合家庭、朋友聚會。
●多樣性：主題包羅萬象，從經營城市、探索地圖到推理對抗。
2000年後，隨著《卡卡頌》、《卡坦島》、《拉密》等遊戲在全球爆紅，加上Kickstarter等群募平台的推廣，桌遊逐漸從小眾嗜好變成主流娛樂。近年更結合教育，成為學校、數學課、心理學實驗的工具。今天，讓我們來看一款透過「組合」這個數學概念而生成的有趣桌遊：《嗒寶》。
●數學角度看嗒寶 圖案張數有相關
《嗒寶》（Dobble，又叫Spot It!）是一款非常受歡迎的派對桌遊。規則簡單：比眼力，比速度。遊戲包含一疊圓形卡牌，每張卡牌上印有8個圖案，而遊戲設計有一個保證：任意兩張卡牌之間，必定有且僅有一個相同的圖案。聽起來很簡單，但實際玩起來常常令人驚呼：「怎麼找不到？」因為圖案有大有小、顏色不同，常常會騙過眼睛。
①基本規則
把一疊牌放在桌子中央，翻開一張。每個人手上都有一張牌，誰最快找到「自己牌」和「中央牌」上共同的圖案，就可以喊出來，並把中央牌收走。
②多種模式
●搶牌模式：誰最快搶到最多牌誰贏。
●丟牌模式：把手上牌丟到中央堆，先丟光者勝。
●其他變體：合作、比速度等。
透過觀察，我們可以發現《嗒寶》上的圖案並不是無限多種，圖案一共有57種，卡牌一共有57張，每張有8種圖案，如此才能造就任兩張卡牌都恰好只有一個重複的圖案。這是《嗒寶》的核心數學奧祕，聽起來很高深，但我們可以簡化來理解：
●若每張卡牌上有n + 1個圖案，則遊戲共有n2+n+1張卡牌。
●在n=7的情況下：
1.每張圖案數=7+1=8個
2.卡牌數量 =72+7+1=57張
3.任意兩張卡牌都會有一個共同圖案
這就是為什麼《嗒寶》能成立的原因，但市售版本可能略做刪減，所以通常不是57張，而是55張，大家可以想一下為什麼55張就可以成立？
●組合數學的應用 卡牌設計的奧祕
「組合數學」（Combinatorics）是數學的一個分支，主要研究如何計數、排列與組合各種離散結構。簡單來說，它研究的是：「在某些限制條件下，某件事有多少種不同的可能？」
例如在《嗒寶》中，我們想安排圖案出現在卡牌上，但要保證：「任意兩張卡牌都有且只有一個相同圖案。」這種特別的設計。我們可以從最基本的研究起，假設每張卡牌只有3個圖案，我們能設計出幾張卡？
透過排列組合，我們可以設計出7張卡，每張3個圖案，任兩張卡只有1個圖案相同。這叫做「7、3、1組合設計」，相當於一個非常小型的《嗒寶》。範例如下（A到F分別代表不同圖案）：
- A、B、C
- A、D、E
- A、F、G
- B、D、F
- B、E、G
- C、D、G
- C、E、F
試著比對一下，每兩組都會有一個相同的圖案，以此規則，配合電腦程式設計，我們就可以得到《嗒寶》的公式：
每張卡牌上有n+1個圖案
則遊戲共有n2+n+1張卡牌
●模式識別來相助 找牌眼明又手快
當你在玩《嗒寶》的時候，可能會發現有些人總是眼明手快，一下子就找到相同的圖案，而有些人則要找很久。這是為什麼呢？其實，這背後藏著一個有趣的心理和數學現象，叫做「模式識別」。
大腦在看圖案時，並不會像電腦那樣一個一個慢慢比對，而是會「整體掃描」畫面，快速抓出圖案的特徵，比如形狀、顏色、大小等。這就像在茫茫人海中一眼認出朋友一樣，不是透過一個一個去比對，而是用熟悉的「特徵」來尋找。
從數學的角度來看，每張卡牌其實就像是一個「圖案的集合」，遊戲的目的就是要從兩個集合中找出那個「交集」，也就是唯一一個共同的圖案。所以當你玩遊戲的時候，其實就在做「找交集」的練習。用數學語言重新描述遊戲：
牌A = { a1, a2, a3,…, a8 }
牌B = { b1, b2, b3,…,b8 }
找牌A ∩ 牌B
是不是瞬間覺得很有數學感？
●「找交集」能力 日常生活常用到
很多人都以為，學習數學只是為了考試，但其實它出現在我們生活的各個角落，甚至可以用來設計遊戲。像全球熱銷的派對遊戲《嗒寶》，背後就是仰賴一個聽起來很抽象的數學概念來設計的。看似複雜的數學，最後竟然變成一款大家聚會時爭相遊玩的遊戲，這是不是很有趣？
玩《嗒寶》時，我們要快速找到兩張牌上的共同圖案，這種「找交集」的能力，其實在日常生活中不時派上用場。好比我們用手機自動辨識不同照片中的同一張臉，或者在數學課學習因式分解，找出不同式子間的共同因子，甚至在面對龐雜資訊時，找出其中的關聯點，這些其實都和玩遊戲的思維一樣。
透過數學，還能確保遊戲的公平性，如果設計不夠嚴謹，可能會出現某兩張牌之間沒有共同圖案，遊戲機制就會失去平衡。正因為數學在遊戲背後給予邏輯及原理上的支持，才讓每一場遊戲都能公平、有趣。
●作者為台南市永仁高中數學老師
原文出自《好讀周報》848期
