文／洪介興
●學新概念要理解 不厭其煩去思考
學習新概念時，絕對不能只記結果，而是要能夠理解推理過程。
譬如在學習正負數的加減法，學到5－（－3）時，有些同學可能會以背口訣或記憶的方式學習。記下「負負得正」的口訣，或是記住「減去負數」就是「加上正數」。
一開始不會發現這種學習方式有什麼問題，感覺這樣學得很快，題目馬上可以做得出來。但以後學到更深入的相關概念時就很容易轉不過來，因為打從一開始就沒有真正學會基礎！
數學高手在學習時會積極去理解5－（－3）為什麼等於5＋3，譬如他可能這樣想：把(－3)看成負債，那麼「減(－3)」就是「減少3元的負債」，這相當於資產增加了3元，所以5－(－3)就等於是5＋3。（圖一）
不僅如此，在想通了減去負數會讓數值增加的道理後，數學高手也不會刻意記下這個結論，而是當下次又遇到類似狀況時，再重新想過一遍。
正因為不厭其煩地反覆思考，所以能把數學觀念學得很穩固，思考速度也越來越快。
●不侷限單一觀點 多元想法學更多
數學高手在看事情時不會侷限於單一觀點，而是會從各種不同角度來解讀一件事。以剛才的5－(－3)為例子，除了「減少負債」的想法以外，數學高手還會再用不同觀點來進行理解。
觀點二：減法一個很重要的功能就是用來計算「相差多少」，因此5－(－3)這個算式就是在看5和(－3)相差多少。因為5比0多出5，而0又比(－3)多出3，所以5總共比(－3)多出5＋3，也就是說5－(－3)＝5＋3。（圖二）
觀點三：負數和正數的性質相反，當減去正數的時候，數值會變小；而當減去負數的時候，數值則會增加。所以「減去負3」會是「增加3」。
觀點四：加法和減法是相反的運算，當加上負數的時候，數值會變小；而當減去負數的時候，數值則會增加。所以「減去負3」會是「增加3」。
這些多元的觀點，讓數學高手對單一概念有更立體、更深刻地認識。一方面能讓這些數學概念在需要時更容易被喚起，並得以更適切地運作；另一方面還能讓不同數學知識產生連結，像上述的觀點二可以連結到高中數學會學到的「向量」概念，而觀點三、四提到反元素與逆運算也是很重要的數學觀念。因此各個數學概念不只是獨立的知識點，而是能形成一個脈絡完整的知識體系。
●讀題先想像情境 從中找重要數據
接下來我們以下面這道問題來示範數學高手是怎麼進行讀題的：
小明去公園慢跑，他繞著公園跑了三圈，前兩圈平均每分鐘跑180公尺，第三圈平均每分鐘跑150公尺，總共花了32分鐘，請問小明總共跑了多遠？
讀題時，數學高手會想像自己準備繞著公園跑三圈（圖三）。前兩圈的平均速率一樣，題目有告知前兩圈確切的平均速率，但沒有告知花的時間跟跑道長度；跑到第三圈慢了下來，題目一樣有告知明確的平均速率，但沒有告知花的時間跟跑道長度。另外題目有告知跑完三圈確切的總時間。
從上面的敘述我們可以知道，讀題時數學高手最在意的是故事中有什麼重要數據，以及題目有沒有提供這些數據的相關資料。先知道題目是直接告知確切的數值？還是告知數據間的關係？至於確切的數據是多少，只要知道題目有給就好，暫時不需要留意。
●要去理解數據關係 只背公式沒有幫助
讀題時也會把資訊做初步的處理，數學高手的思考如下：
題目雖然沒告知每一圈花費的時間和跑道長度，但有告知每一圈平均速率，所以只要有花費時間就可以推算跑道長度，也可反過來從跑道長度推算花費時間；或用「跑一圈的時間」乘以「平均速率」等於「跑道長度」的關係來列方程式。（圖三中的箭頭表示兩數量間有密切關連）
此外，題目還告知跑三圈的總時間，再加上知道第一、二圈花的時間相同，所以只要知道其中一圈的時間，就可推算另外兩圈的時間；或用「各圈時間相加」等於「跑三圈的總時間」來列式。
從「描繪情境」、「注意關鍵數據」到「初步處理資訊」就是數學高手在讀題時所做的工作。像這道題目是主角繞著公園一圈圈地跑，跑步通常會在意一圈跑多久、跑道多長，而這兩項數據正是這題的重要關鍵，所以將自身代入情境有助於我們注意到關鍵數據。
有些人會去背「速度×時間＝距離」，但這種方式對學好數學是沒有幫助的。正確做法是想像出畫面，1分鐘前進180公尺，2分鐘就是2個180公尺，那麼幾分鐘就是180公尺的幾倍，所以跑一圈的時間乘以平均速率「當然」就是跑道一圈的長度。「當然」這兩個字很重要，表示我們非常瞭解這些數量間的關係，而不是刻意去記憶。
●先做整體構想 再來列式運算
完成讀題後，下一步是對解題過程做出整體性的構想，先前讀題時注意的數量關係此時會發揮很大的作用。以前面的題目為例，可能會順著以下四個步驟進行構想（圖四）：
①只要有第一、二圈花費的時間，就可以利用已知第一、二圈的平均速度推算出跑道長度。
②利用已知的總花費時間，可推算出第三圈花費的時間。
③有了第三圈花費的時間，再加上已知的第三圈平均速度，也可以推算出跑道長度。
④兩種不同方式都能推算出相同的跑道長度，因此只要把第一圈花費的時間假設為x分鐘，就可以把兩種不同推算跑道長度的方式列成一條等式。
先做好解題構想才進行列式、運算等解題工作，過程中才能條理分明而不至於迷失方向；當解題遭遇困難時，也更能適時而有效地調整解題策略。
●解完題要回顧歷程 多嘗試各種解題法
解題完成時，數學高手不會急著做下一道問題，而是馬上有重要的腦力工作要做。
首先要對剛經過的解題歷程進行回顧，看看這個解題方法與題目的關聯，想想這個解題方法為什麼可以解得了這道問題。經過回顧，可以把這一次的解題經驗更加精煉，未來如果有運用類似解題方法的機會，就更能夠適時適所地提取出來。
接著要再多試試其他解題方法，譬如剛才的題目也可以假設跑道長度為x公尺，分別推算出三圈花費的時間，利用三圈總和32分鐘來列出方程式。或是也可以利用第一、二圈和第三圈的速度比為6：6：5，距離相同下，得知花費的時間比為5：5：6（1/6：1/6：1/5）；因此三圈花費的時間分別是10分鐘、10分鐘、12分鐘，如此立即就可以推算出跑道長度為1800公尺。
將幾個不同的解題方法進行比較，想看看為什麼有些方法在這道題目行不通？為什麼有些方法在這道題目比較有效？怎麼做可把這題的解題方法更加優化？有了這些深入的思考，對於這道數學問題的相關認識會更加全面，對諸多解題工具的了解也會更加深刻。
準備好成為數學高手了嗎？只要養成上述的思考習慣，你就是數學高手俱樂部的一員囉！
原文出自《好讀周報》752期
