文／洪介興
●考考你／0～2000抽20個數 最快時間答出平均數
現在請你準備好計時器，讓我們來玩一個小遊戲。下面的表中有20個數，是利用電腦程式隨機從0～2000中抽取出來的（抽取的規則是每個數被抽到的機率相等，抽過的數可以重複抽）。
請你計時並回答這20個數的平均數，並記錄下你回答所花的秒數，然後按以下規則計算你的分數，分數越低越好！
分數＝誤差＋時間
「誤差」是指玩家的答案和正確答案的差距，用其中較大的數減去較小的數計算而得。譬如玩家回答937，而正確答案是939，那麼誤差就是2。
「時間」以秒為單位，譬如玩家花了3分39秒，也就是219秒。把誤差2和秒數219相加，合計玩家的分數是221分。
在剛才的例子中，玩家的誤差雖然很小，但花的時間很多，所以如果想把分數壓低，或許可以從節省時間下手。請你先想想看有沒有什麼可以大幅節省時間的估算方法，再開始進行挑戰，找幾位朋友一起比賽會更加有趣喔！
請先把遊戲玩過後，再繼續接著把本文看下去吧。
●告訴你／四捨五入法 速度拖慢 無條件捨去 準確性差
一個很直覺的估算方式是只取到百位數做計算，然而這個想法很快地又會產生出兩個分歧的做法。一是四捨五入法、二是無條件捨去法，你覺得這兩種方法哪一種比較好呢？
若以準確性為考量點，四捨五入法肯定是比較好的方法，但相較於無條件捨去法，用四捨五入法會把速度拖慢非常多。
當使用無條件捨去法的時候，只需要看著前一、兩位數來計算總和，非常方便。但如果用四捨五入法，一來要多花一些心神判斷該進位還是捨去；二來若遇到進位時，要加的數並不是眼睛所看到的數，相當不直覺。多這兩層的處理，勢必會多花不少時間。
有沒有和無條件捨去法差不多快，又能讓誤差不要太大的方法呢？
●有一招／前兩位 無條件捨去法相加 十位數 四捨五入法再調整
想想看四捨五入法跟無條件捨去法的差別，當十位數是4以下的數時，兩種方法要加的數是相同的；但當十位數是5以上時，用四捨五入法要加的數會比用無條件捨去法還多1。
經過以上的分析，不難想出一個和四捨五入法有相同效果，但更加有效率的方法。就是先用無條件捨去法的方式把前一、兩位數加好（總和是216）。完成後再來看所有的十位數，每看到一個要進位的數就再加1。加完的結果是228，因此最後計算平均數就是22800÷20＝1140。
真實的平均數是1138，如果純粹用無條件捨去法，計算出的答案會是21600÷20＝1080，誤差是58。但只要像剛才所說，稍微多花一點時間調整，就可以得到誤差只有2的估計值呢！
除了前面所述的方法以外，這邊再提供一個不同的想法。先用無條件捨去法進行估算，再把得出的1080加上50，直接用1130做為估計值。理由是被捨去的二位數，平均通常不會離50太遠。這個方法顯然比剛才的方法更快，雖然誤差通常會比四捨五入法稍微大一點，但也還能接受，不失為一個快速估計的好方法。
●很好用／善用分配律 比憑空想省腦力
做完了加法的速算後，接下來我們試著做一些乘除法。先從下面幾道問題開始熱身，請你不使用紙筆，正確算出下面幾道題目的答案。
① 58×9
② 753×5
③ 346×25
第①題如果你是在心中做直式乘法，你必須憑空想像出以下的畫面，然後把7和5加起來，發現要進位，所以百位數要變成5，當你處理到這邊的時候，個位數是多少大概已經忘了，整個過程應該相當費神吧！
如果你發現58非常接近60，若先用60×9，再減去多算的2×9，變成在心中做540－18，因為18這個數很小，所以這個算法對頭腦的負擔也會比較小。這個算法其實就是分配律的運用。
分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c
同樣是利用分配律，與其把58拆成60－2，不如把9拆成10－1來得更輕鬆；先算58×10，再扣掉58，也就是580－58。為什麼這樣會比540－18更輕鬆呢？第一個原因是540經過的思考比較多（要先把58當成60，再經過60×9的步驟），而580只是在58後面補0。第二個原因是紙上就寫著58，比憑空想還要省腦力。
這個方法在任何打9折的場合都很好用，遇到打9折時候想成是原價乘以0.9比較不好算，用原價扣掉10%會容易許多。像原價2880元打9折就是2880－288，大約2600元（只要知道約略數字就好，差8元不影響我們決定是否購買）。
學習加減法的時候，會跟小學生說3和7是好朋友，4和6是好朋友。那麼在做乘除法的時候，我們可以說5的好朋友是多少呢？
第②題要憑空想像乘法會比較吃力，因此我們請5的好朋友來相助，把753×5改成7530÷2。請你試著算算看，是不是更容易了呢？
第③題的概念也類似，要乘以25實在是太困難了，但如果是除以4就容易做了，因此346×25我們就改用34600÷4來處理。
●再一招／從左到右 做直式乘法 隨時喊停 估算不離譜
熱身完畢，接著要進入高強度的部分了，這裡不要求做出精確的答案，只要盡快給出估計值就好。現在請你不使用紙筆，估計856×687。
687很接近700，因此把687當成700來估計應該不錯，但856就很困擾了，當成900或800的誤差都很大，這時候該怎麼辦呢？
這邊介紹一個解決辦法：直接把856×687當成856×700來算。如果第一時間的反應是「856×7很難耶」，那大概是因為你習慣用直式乘法從右邊做到左邊。其實在估算的時候，最好從左邊開始算。
做856×700要先算8×7（56）；接著加上5×7（35），其中35帶頭的3要對齊剛剛56結尾的6，加起來就是595；做到這裡如果你的頭腦還撐得住，就繼續加上6×7=42，其中42結尾的4要對齊剛才595結尾的5，得到5992；最後補上結尾的兩個0，得出856×700=599200。
從前面開始做的好處就是隨時可以喊停，得到一個不錯的估計值，你不妨也練習計算看看476859×6，如果你只乘到前兩位，得到47×6＝282，那至少2820000也是個很好的估計值，距離真實答案2861154不會差太多。
●獨門祕招／善用％數 算得快又誤差小
最後分享筆者的獨門估計祕招，就用剛才的856×687當例子。
①把原題目當成800×700，得到560000。
②856比800多出了剛好7%，而687比700少了大約2%，把＋7%和－2%相加，得到＋5%。（這兩個誤差可以相加的說明請見附註）
③把560000調整＋5%，大約＋30000，得到的估計值就是590000。這題的實際值是588072，因此上述估計的誤差不到2000，還不賴吧！
再看一個例子，估計71583×28172。
①先把原題目當成70000×30000，7×3＝21。
②71583比70000多出了大約2%，而28172比30000少了大約6%，把＋2%和－6%相加，得到－4%。
③把21調整－4%（約0.8），得到20.2，最後在小數點後補上8位，得到的估計值就是2020000000。這題的實際值是2016636276，誤差不到千分之2，如果有仔細地調整成2016000000，誤差甚至只會有萬分之3！
誰說71583×28172只能有一種答案？一味追求著標準答案，是多麼地索然無味啊！只有多思考、善用我們接觸過的各種知識，才能產生出諸多專屬於你的獨到見解與想法，而這才是數學的趣味所在！
原文出自《好讀周報》748期
