賴以威（數感實驗室）
從小到大幾乎每一位數學老師都會告訴你「數學是一門理解、思考的學問」，好像真的是這樣吧，儘管考試還是得用到公式，但班上總是有些人得意洋洋的說他幾乎沒背公式，都是考試時當場推導。撇開有一些是吹牛不提，數學，好像真的是一門能說得出理由的學問，除了某些奇怪的常數，比方說，e=2.71….這個「歐拉數」。
其實歐拉數也有理由，今天就讓我們來說說看。
數學界裡有一些名氣響亮的常數，例如圓周率，它很好理解，是圓周長除以直徑的結果。可歐拉數又是什麼呢？第一次接觸到歐拉數的人大多是伴隨著「複利」這個生活例子：存一筆錢到銀行，一年後會翻兩倍。如果改成半年計算利息一次，且利息可以做為下半年的本金一起算利息，則每半年利息要除以2，變成50%，本利和變成1.5×1.5=2.25。如果一季算一次，利息除以4，變成25%，本利和變成1.25×1.25×1.25×1.25，約是2.44。一直分割下去，直到變成每一瞬間都在算利息，你就會得到一年後2.71…也就是歐拉數e這麼多錢。
或許是高中時的我沒有做投資(現在依然沒有)，對複利沒有太深刻的感受。我真正認識e是成為教授，上課教微分方程，計算人口成長模型的時候。我們都同意，人口成長的速率，跟此刻的人口總數有關係，畢竟，人越多，生的小孩就越多。這道理很基本。假設人口在時間t的總數為S(t)，人口成長的速率就是dS(t)/dt，總人口對時間的微分，這項微分與總人口數S(t)成整比，用數學式子來寫就是
dS(t)/dt = k×S(t)
其中k是一個常數，代表成正比。這個式子不難理解。運用一些積分技巧解題後，你會得到
S(t)=Cekt
頓時出現了歐拉數e。原來歐拉數是在還原一項微分方程時，自然而然會跑出來的結果！當你有一項數值，它的成長速率跟此刻的總數有關（每分每秒的複利不也就是這個狀況嗎），你可以用微分方程很清楚的表示這個概念，消去微分，歐拉數就跑出來了。
自然界很多事物的成長都依循這個規則，這就是為什麼我們會這麼重視歐拉數的原因。現在，有稍微多認識它一點了嗎？
本文轉載自聯合報教育版「閱讀數學」專欄，更多好文請上「數感實
