文╱曾慶良（阿亮老師）
●告訴你╱一維與二維條碼 商品碼分這兩類
我們每天在商店或者賣場消費時，店員都會拿著掃描機掃描產品包裝上的商品碼，以記錄購買商品所對應的金額，你有沒有很好奇怎麼不到一會兒的功夫就完成了結帳程序？今天我們就來看看商品碼的祕密吧！
目前市面上通用的商品碼大多有兩類，分別為一維條碼（Bar Code）和二維條碼（QR Code），一維條碼是以「數字編號」資訊來顯示編號識別商品，而二維條碼除了數字資訊外還可以顯示英文字母、中文等，可以容納7089個字元（常用的一維條碼則有13個字元）。
我們常看到的一維條碼是以一條一條黑色和白色條紋所構成，用掃描機掃碼若遇到黑色為不透光顯示二進位數字為1、白色則透光顯示二進位數字為0，條碼的左右被兩條最長的黑色條紋所匡列（稱為起始與終止字元），正中間兩條最長的黑色條紋則是用來區隔左右（稱為校正字元），而在起始與終止字元間則有：國家代碼、廠商代碼、產品號碼和檢核碼四個區塊（台灣的國家代碼為471）；校正字元左邊的編碼規則可以用TypeA或TypeB，而右邊的編碼規則則需要使用TypeC；為了防止掃瞄條碼時誤判商品，所以會加上一位數的檢核碼。
●要知道╱檢核碼如何產生？ 有固定的計算方式
檢核碼是依固定的計算方式求得。我們以471123456789為例，其計算規則步驟如下：
步驟①：將偶數位數相加後答案乘以3，此題為（7+1+3+5+7+9）×3=96
步驟②：將奇數位數相加，此題為(4+1+2+4+6+8)=25
步驟③：將前兩項數值相加後答案取個位數字，此題為96+25=121，則取個位數字1
步驟④：步驟③得到的數字若為0則檢核碼即為0，若不是0則以10減去，該數即為檢核碼，此題為10-1=9
目前許多的號碼（例如身分證、ISBN書籍編碼等）都有一套專屬的數學運算檢核規則。
●再看看╱二維條碼怎構成？ 兩個一維疊加產生
我們再來說說二維條碼（QR Code）的構成規則，它最初是由2個一維條碼疊加在一起讓X軸、Y軸都帶有訊息而進化成現在有40種尺寸與4種「容錯」級別的二維條碼。QR Code裡每一個黑白方格都是一個位元（bit），黑色方格代表1，白色方格代表0，掃碼時機器只要判斷反光與否，就能將黑白圖像轉換為1與0的組合。其中，最重要的就是位於上方兩側與左下的3個「回」狀定位標記（如圖中標示數字1處），定位標記是讓掃描端能夠辨識QR Code的方向，就像先定義好正向X軸、Y軸和原點後就能判斷出應該從哪裡開始讀取和結束。
為了因應不同大小圖樣的QR Code印刷，因此需要「定位資訊」作為單位刻度，讓掃描器知道最小單位方格大小（如圖中標示數字3處）。根據QR Code發展版本的不同會有不同數量的校正圖塊（如圖中標示數字2處），用以矯正方向與對齊，因此不管使用任何的角度去掃描，或是二維碼不平整，都可以藉由它的定位再加以特殊運算使得QR Code還原到可被解讀。
●很厲害╱若有資訊缺失 容錯碼可挽救
了解QR Code的構成後，不得不提其實它最厲害的地方是前面所說的「容錯」，所謂的「容錯」是指當QR Code條碼缺了一角，也就是當部分資訊缺失在容許範圍內，它會拿其他資訊自動填補，讓整體資訊依然可被完整辨識。這樣的容錯碼是如何產生的呢？舉一個例子說明如下：
例如，有一個貨號輸入碼為5247四位數字，我們將此輸入碼設定為m，在產製QR Code時會生成的容錯碼設為p（所以最後的QR Code會是mp），而原本運算程序前就有一組固定碼g。為了方便說明，我們假設一組數字g=12345，現在利用多項式原理：
被除式=除式×商+餘式
將輸入碼m對應為x的7次多項式：
5（x的7次方）+2（的6次方）+4（x的5次方）+7（x的4次方）+0（x的3次方）+0（x的2次方）+0x+0
固定碼g對應為x的4次多項式：
11（x的4次方）4+2（x的3次方）+3（x的2次方）+4x+5
再將m÷g得到的餘式pp即為容錯碼。
●教教你╱位數有負怎麼辦？ 「伽羅瓦域」能解決
不過在此會遇到一個問題，就是有可能遇到位數有負的狀況，因此引入一個封閉數域「伽羅瓦域」的運算法：即是在此域中的數值經過有限域的運算， 依然會在此數域中。
我們舉一個在23（即0、1、2、3、4、5、6、7這八個數字）伽羅瓦域的加法、乘法運算（見表一、表二）。這個23「伽羅瓦域」的加法、乘法運算是由這樣的順序得到的：
步驟1：將數字轉成「二進制」，例如三位數中：0轉為000、1轉為001、2轉為010、3轉為011、4轉為100、5轉為101、6轉為110、7轉為111。
步驟2-1：如果要做加法或減法（結果相同），只需要藉由「邏輯異或」（簡稱xor，以符號⊕來表示）來完成，xor運算規則是：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0，例如5+6的運算為101⊕110＝011，而011即為3（結果還是在伽羅瓦域中）。
步驟2-2：如果要做乘法（除法方式亦同），先將數字轉成二進制後做模二乘法，再以xor運算規則得到答案，答案若超出23值域則需要除以定值1011（稱為本原值）的餘數即為答案。下例就是6×7的運算過程，答案為4。
依據上列運算規則，我們可以求m÷g：
因此可得容錯碼p=1421 ，有了這樣的容錯碼，只要驗證mp÷g，若餘數為0，則說明這組QR Code是沒有錯誤的資訊，而一旦餘數不為0則代表資訊有缺，在一定的條件下則可回推原始輸入碼。
●有妙用╱因為有容錯機制 QR Code更有特色
基於容錯機制，可讓使用者美化QR Code，比方到QR Code製作網站輸入目標網址，再上傳個人頭貼或插圖掩蓋少部分的輸入碼，使其在容錯的機制下依然可讀，如此產生的QR Code更有特色，你也可以試試看！
●作者為教育部高中數學學科中心研究教師、台北市3A教學基地中心主任，獲北市特殊優良教師
原文出自《好讀周報》667期
